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Vidéo de question : Calculer un angle inconnu dans un quadrilatère en utilisant la loi des cosinus Mathématiques

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un quadrilatère tel que 𝐴𝐵 = 10 cm, 𝑚∠𝐴𝐷𝐵 = 74°, 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 32°, 𝐵𝐶 = 16 cm et 𝐷𝐶 = 18 cm. Déterminez la mesure de l’angle 𝑚∠𝐶𝐵𝐷, à la seconde d’arc près.

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Transcription de vidéo

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère tel que 𝐴𝐵 est égal à 10 centimètres, la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵 est de 74 degrés, la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷 est de 32 degrés, 𝐵𝐶 est égal à 16 centimètres et 𝐷𝐶 est égal à 18 centimètres. Déterminez la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐷, en donnant la réponse à la seconde d’arc près.

Nous commençons par faire une figure et nommer les côtés et les angles qui nous ont été donnés. On nous dit que 𝐴𝐵 est égal à 10 centimètres, que 𝐵𝐶 est égal à 16 centimètres et que 𝐷𝐶 est égal à 18 centimètres. La mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵 est de 74 degrés et la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷 est de 32 degrés. On nous demande de calculer la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐷 que nous appellerons 𝜃.

Si nous commençons par considérer le triangle 𝐴𝐵𝐷, nous savons que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Cela signifie que pour calculer la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷, nous pouvons soustraire 32 degrés et 74 degrés de 180 degrés. Cela nous donne 74 degrés. Comme deux des angles du triangle sont égaux nous avons donc un triangle isocèle, ce qui signifie que les longueurs de deux côtés sont également égales. Les longueurs des côtés 𝐴𝐵 et 𝐷𝐵 sont donc toutes deux égales à 10 centimètres.

Considérons maintenant le triangle 𝐵𝐶𝐷. Nous connaissons les longueurs des trois côtés et nous essayons de calculer l’un des angles du triangle. Nous pouvons le faire en utilisant la loi des cosinus ou théorème d’Al-Kachi qui dit que le cos de l’angle 𝐴 est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré le tout divisé par deux 𝑏𝑐. Notez que la longueur du côté que nous soustrayons est celle du côté opposé à notre angle soit dans ce cas 18 centimètres.

En substituant par nos valeurs, nous obtenons que le cosinus de 𝜃 est égal à 16 au carré plus 10 au carré moins 18 au carré le tout divisé par deux multiplié par 16 multiplié par 10. Le membre de droite se simplifie en un sur 10. Ainsi cos 𝜃 est égal à un dixième. On peut alors prendre l’arc cosinus des deux membres. 𝜃 est égal à l’arc cosinus d’un dixième. 𝜃 est donc égal à 84.2608 et ainsi de suite en degrés. On nous demande de donner notre réponse à la seconde près. Donc 𝜃 est égal à 84 degrés, 15 minutes et 39 secondes. C’est la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐷 à la seconde près.

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