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Vidéo de question : Discuter de la continuité de la somme de deux fonctions rationnelles Mathématiques

Déterminez l’ensemble sur lequel la fonction définie par 𝑓(𝑥) = −4𝑥⁻³ + (10/(𝑥² + 9)) est continue. [A] La fonction 𝑓 est continue sur ℝ. [B] La fonction 𝑓 est continue sur ℝ - {0, 3}. [C] La fonction 𝑓 est continue sur ℝ - {−3}. [D] La fonction 𝑓 est continue sur ℝ - {0}. [E] La fonction 𝑓 est continue sur ℝ - {0, −3}.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble sur lequel la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale moins quatre fois 𝑥 à la puissance moins trois plus 10 divisé par 𝑥 au carré plus neuf est continue. Réponse (A) la fonction 𝑓 est continue sur l’ensemble des nombres réels. Réponse (B) la fonction 𝑓 est continue sur l’ensemble des nombres réels privé de zéro et trois. Réponse (C) la fonction 𝑓 est continue sur l’ensemble des nombres réels privé de moins trois. Réponse (D) la fonction 𝑓 est continue sur l’ensemble des nombres réels privé de zéro. Ou réponse (E) la fonction 𝑓 est continue sur l’ensemble des nombres réels privé de zéro et moins trois.

Dans cette question, on nous donne une définition explicite d’une fonction 𝑓 de 𝑥. Nous devons l’utiliser pour trouver l’ensemble sur lequel cette fonction 𝑓 de 𝑥 est continue. Nous avons cinq réponses possibles. Il existe plusieurs façons différentes d’aborder ce problème. Nous allons essayer de trouver toutes les valeurs de 𝑥 où notre fonction 𝑓 est continue.

Pour ce faire, examinons de plus près notre fonction 𝑓 de 𝑥. Premièrement, nous pouvons voir qu’il s’agit de la somme de deux fonctions. Nous rappelons que si deux fonctions sont continues, alors leur somme est également continue. Nous pouvons donc les examiner individuellement. Ceci est vraiment utile car nous pouvons examiner chacune de ces deux parties individuellement et nous pouvons remarquer que ces deux fonctions sont rationnelles.

Rappelez-vous qu’une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Pour voir cela, cela pourrait être plus facile de réécrire moins quatre fois 𝑥 à la puissance moins trois en utilisant notre loi des exposants. Cela donne moins quatre sur 𝑥 au cube. Maintenant que nous essayons de trouver la continuité des fonctions rationnelles, nous pouvons utiliser tout ce que nous savons sur ce sujet pour nous aider.

Le premier fait que nous allons vouloir utiliser est le suivant. Toutes les fonctions rationnelles sont continues sur tout leur domaine. Rappelez-vous que le domaine d’une fonction correspond à toutes les valeurs de 𝑥 où notre fonction est définie. Ainsi, tout cela nous dit que nos fonctions rationnelles sont continues partout où elles sont définies. Cependant, nous connaissons un résultat très utile sur le domaine des fonctions rationnelles. Nous rappelons également que les fonctions rationnelles seront définies pour toutes les valeurs de 𝑥 sauf lorsque leur dénominateur est égal à zéro. En effet, les fonctions rationnelles sont le quotient de deux polynômes. Nous savons que tous les polynômes sont définis pour toutes les valeurs réelles de 𝑥.

Ainsi, la seule façon pour une fonction rationnelle de ne pas être définie, c’est lorsque nous divisons par zéro. En d’autres termes, le dénominateur devrait être égal à zéro. En combinant ces deux faits, nous obtenons un résultat très utile sur les fonctions rationnelles. Les fonctions rationnelles sont continues partout sauf lorsque leur dénominateur est égal à zéro. Nous pouvons appliquer cela aux deux fonctions rationnelles de 𝑓 de 𝑥 séparément. Commençons par la première, qui a un dénominateur de 𝑥 au cube.

En utilisant nos deux résultats, elle sera continue pour toutes les valeurs de 𝑥 sauf si son dénominateur est égal à zéro. Bien sûr, si 𝑥 au cube est égal à zéro cela signifie que 𝑥 doit être égal à zéro. Par conséquent, nous avons prouvé que moins quatre sur 𝑥 au cube est continue sur l’ensemble des nombres réels privé de zéro.

Nous pouvons faire exactement la même chose pour notre deuxième fonction rationnelle. Encore une fois, en appliquant nos deux règles, nous aurions besoin de savoir où le dénominateur de cette fonction rationnelle est égal à zéro. Nous aurions besoin de résoudre 𝑥 carré plus neuf est égal à zéro. Cependant, nous pouvons prouver que cette équation n’a pas de racines réelles. Par exemple, le discriminant de cette équation du second degré est négatif.

Cependant, nous pourrions également utiliser le fait que 𝑥 au carré va être supérieur ou égal à zéro pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Puis, nous ajoutons neuf. Cela va être positif pour toute valeur de 𝑥. Ainsi, cela ne peut pas être égal à zéro. Par conséquent, si le dénominateur de cette fonction rationnelle n’est jamais égal à zéro, alors il est défini pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Ainsi, 10 divisé par 𝑥 au carré plus neuf doit être continue pour toutes les valeurs réelles de 𝑥.

Maintenant, nous pouvons parler de la continuité de 𝑓 de 𝑥 puisque cette fonction est la somme de ces deux fonctions rationnelles. Rappelez-vous que la somme de deux fonctions continues est elle-même continue. Ainsi, juste en utilisant cela, nous avons prouvé que 𝑓 de 𝑥 est continue sur l’ensemble de tous les nombres réels, sauf lorsque 𝑥 est égal à zéro. Juste pour être absolument sûr, nous pourrions nous demander ce qui se passe lorsque 𝑥 est égal à zéro dans notre fonction 𝑓 de 𝑥.

Bien, si nous devions utiliser 𝑥 est égal à zéro dans notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous verrions que nous divisons par zéro. Ainsi, 𝑓 de zéro n’est pas défini. Nous savons qu’une fonction ne peut pas être continue à une valeur de 𝑥 si elle n’est pas définie pour cette valeur de 𝑥.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue pour toutes les valeurs réelles sauf lorsque 𝑥 est égal à zéro. Cela donne la réponse (D).

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