Vidéo : Probabilité théorique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à interpréter une série statistique et à évaluer les probabilités théoriques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à interpréter une série statistique en trouvant et en évaluant des probabilités théoriques. Nous allons commencer par examiner la définition des probabilités.

La probabilité qu’un événement ait lieu est la possibilité qu’il se réalise, par exemple, lors du lancement d’un dé ou d’une pièce de monnaie. La probabilité va de zéro à un, où une probabilité de zéro signifie qu’un événement est impossible et un signifie qu’il est certain.

Les probabilités peuvent être écrites sous forme de fractions, de nombres décimaux ou de pourcentages. Lorsque la probabilité est écrite sous forme de fraction, le numérateur est le nombre de résultats favorables et le dénominateur est le nombre de résultats possibles. Nous allons maintenant voir quelques questions sur la probabilité théorique.

Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre entre zéro et deux en lançant un dé équilibré ?

Un dé équilibré est de forme cubique et a donc six faces. Ses faces sont numérotées de un à six, et la somme des faces opposées est de sept. La probabilité qu’un événement se produise peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur est le nombre de résultats favorables et le dénominateur le nombre de résultats possibles.

Dans cette question, nous voulons obtenir un nombre entre zéro et deux. Le seul nombre qui apparaît sur un dé qui est compris entre zéro et deux est un. Cela signifie qu’il n’y a qu’une seule issue favorable dans ce cas. Comme il y a six nombres au total sur le dé, donc il y a six résultats possibles. La probabilité d’obtenir un nombre compris entre zéro et deux sur un dé équilibré est un sur six, ou un sixième.

Nous allons voir un autre problème impliquant une probabilité théorique.

Une boîte contient cinq billes rouges, huit billes vertes et quatre billes jaunes. Si une bille est choisie au hasard dans la boîte, alors quelle est la probabilité que cette bille soit rouge ?

On nous dit dans la question que nous avons cinq billes rouges. Il y a huit billes vertes. Et enfin, nous avons quatre billes jaunes. Cela signifie que nous avons 17 billes au total, puisque cinq plus huit plus quatre font 17. On nous dit aussi qu’une bille est choisie au hasard. Cela signifie qu’il y a une chance égale de choisir chacune des 17 billes. Nous savons que la probabilité peut s’écrire sous la forme d’une fraction : le nombre de résultats favorables sur le nombre de résultats possibles.

Dans cette question, nous essayons de calculer la probabilité que la bille soit rouge. Comme il y a cinq billes rouges dans la boîte, alors le nombre d’issues favorables est cinq. Le nombre d’issues possibles est 17, car il y a 17 billes au total. La probabilité de choisir une bille rouge dans la boîte est cinq sur 17 ou cinq dix-septièmes.

Notre question suivante consiste à déterminer la probabilité d’un événement dans un contexte.

Un club scolaire compte 25 garçons et 13 filles. Parmi les membres du club, cinq garçons et quatre filles portent des lunettes. Si un membre du club est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu’il ne porte pas de lunettes ?

Il existe plusieurs façons d’aborder ce problème. L’une d’entre elles consiste à faire un tableau de contingence. Le tableau de contingence peut être fait comme indiqué. Dans la question, on nous dit qu’il y a 25 garçons dans le club. Il y a 13 filles dans le club. Comme 25 plus 13 égale 38, alors il y a 38 membres au total. On nous dit aussi que cinq garçons portent des lunettes. Cela signifie que 20 garçons ne portent pas de lunettes, car 25 moins 5 font 20. Quatre des filles du club portent des lunettes. Cela signifie que neuf d’entre elles n’en portent pas. Le nombre total des élèves qui portent des lunettes est neuf, car cinq plus quatre font neuf. 20 plus neuf égale 29. Il y a donc 20 élèves dans le club qui ne portent pas de lunettes.

Nous rappelons que la probabilité peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur est le nombre de résultats favorables et le dénominateur le nombre de résultats possibles. Nous devons calculer la probabilité qu’un élève ne porte pas de lunettes. Il y a 29 membres qui ne portent pas de lunettes. Ainsi, notre numérateur sera 29. Le nombre total d’élèves du club est 38. Ainsi, le dénominateur est 38. Nous pouvons donc conclure que la probabilité qu’un membre du club ne porte pas de lunettes est de 29 sur 38.

Notre question suivante consiste aussi à résoudre un problème de la vie réelle impliquant une probabilité théorique.

Un sac contient des boules blanches, des boules rouges et des boules noires. La probabilité de tirer une boule blanche au hasard est de 11 sur 20, et celle de tirer une boule rouge au hasard est de 3 sur 10. Quel est le plus petit nombre de boules rouges et de boules noires qui pourraient se trouver dans le sac ?

Dans la question, on nous dit qu’il y a dans le sac des boules de trois couleurs différentes. La probabilité de tirer une boule blanche est de 11 sur 20 ou onze vingtièmes. La probabilité de tirer une boule rouge est de trois sur dix ou de trois dixièmes. On ne nous donne pas la probabilité de tirer une boule noire.

Afin de comparer les fractions, nous devons nous assurer que les dénominateurs sont les mêmes. Le plus petit commun multiple de 10 et 20 est 20, nous devons donc multiplier le dénominateur de la deuxième fraction par deux. Quoi que nous fassions au dénominateur, nous devons le faire au numérateur. Trois fois deux est six, et 10 fois deux est 20. Ainsi, les fractions trois dixièmes et six vingtièmes sont équivalentes.

Nous savons que la somme de toutes les probabilités est égale à un. Dans cette question, comme notre dénominateur est 20, cela est égal à vingt vingtièmes. Onze vingtièmes plus six vingtièmes égale dix-sept vingtièmes. Lorsque les dénominateurs sont identiques, nous additionnons simplement les numérateurs. En soustrayant ce nombre de un ou vingt vingtièmes, on obtient trois vingtièmes. Cela signifie que la probabilité de sélectionner une boule noire est de trois vingtièmes.

Nous avons maintenant trois probabilités que nous pouvons comparer car les dénominateurs sont tous les mêmes. Le rapport entre les boules blanches, rouges et noires est de 11 à six à trois. Cela signifie que le plus petit nombre de boules au total est de 20, où 11 seraient blanches, six rouges et trois noires. Le plus petit nombre de boules rouges et de boules noires qui pourraient se trouver dans le sac est de six et trois, respectivement.

Comme on ne nous donne que les probabilités, alors le nombre total de boules pourrait être n’importe quel multiple de 20. Par exemple, nous pourrions avoir 40 boules au total, dont 22 blanches, 12 rouges et 6 noires. Cependant, comme nous recherchions le plus petit nombre de boules rouges et noires, alors la bonne réponse est six rouges et trois noires.

Nous allons maintenant voir une dernière question impliquant une probabilité théorique.

Lors d’une foire scolaire, 68 personnes ont participé à une loterie. Sachant que la probabilité qu’une fille gagne est d’un quart, et que les gens ne peuvent s’inscrire qu’une seule fois, alors combien de filles ont participé à la loterie ?

Dans la question, on nous dit que 68 personnes ont participé à la loterie et qu’elles ne peuvent y participer qu’une seule fois. Cela signifie que 68 billets ont été vendus au total. On nous dit aussi que la probabilité qu’une fille gagne est d’un quart. Cela signifie qu’un quart des billets ont été achetés par des filles. Pour connaître le nombre de filles qui ont participé à la loterie, nous devons calculer un quart de 68. Le mot « de » en mathématiques signifie multiplier ou fois, donc nous devons multiplier un quart par 68.

Multiplier par un quart équivaut à diviser par quatre, donc nous pouvons diviser 68 par quatre. Six divisé par quatre est un et il reste deux, et 28 divisé par quatre est sept. 68 divisé par quatre est donc égal à 17. Nous pouvons donc conclure que 17 filles ont participé à la loterie.

Une autre méthode pour trouver le quart d’un nombre serait de le diviser par deux, puis le diviser encore une fois par deux. Un demi de 68 est 34, et le demi de ce nombre est 17.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Pour calculer la probabilité d’un événement unique, nous avons besoin de ce qui suit : tout d’abord, le nombre de façons dont nous pouvons obtenir un résultat favorable, c’est-à-dire le nombre de façons dont l’issue que nous voulons peut se produire. Deuxièmement, nous avons besoin du nombre total de tous les résultats possibles. Cela signifie le nombre d’issues qui pourraient se produire. La probabilité qu’un événement unique se produise peut s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Lorsqu’elle est écrite sous forme de fraction, il s’agit du nombre de résultats favorables par rapport au nombre de résultats possibles.

Enfin, nous rappelons que l’échelle des probabilités va de zéro à un. Cela signifie que la probabilité écrite sous forme de fraction ne peut pas être impropre. Le numérateur doit être inférieur ou égal au dénominateur. Si la probabilité qu’un événement se produise est de zéro, alors il est impossible. Et si elle est égale à un, alors il est certain.

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