Vidéo : Théorème des gendarmes

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser le théorème des gendarmes (également appelé théorème du sandwich) pour évaluer quelques limites lorsque la valeur d’une fonction est encadrée par les valeurs de deux autres fonctions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons découvrir le théorème des gendarmes. Le théorème des gendarmes est un théorème vraiment utile et important car il nous aide à évaluer les limites utiles et importantes qu’on ne peut pas évaluer avec des techniques plus basiques. Pour commencer, essayons de comprendre l’énoncé du théorème.

Si 𝑓 de 𝑥 est inférieure ou égale à 𝑔 de 𝑥, qui à son tour est inférieure ou égale à ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 est dans le voisinage d’une valeur 𝑎, et que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est identique à la limite de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Nous appelons cette limite 𝐿. Alors la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 sera également 𝐿. Ceci est mieux compris par un diagramme. Toute l’action se produit lorsque 𝑥 est dans le voisinage d’une certaine valeur 𝑎. Marquons donc cette valeur spécifique. Au voisinage de 𝑎, autrement dit dans un intervalle autour de 𝑎, on nous dit que 𝑓 de 𝑥 est inférieure ou égale à 𝑔 de 𝑥, qui à son tour est inférieure ou égale à ℎ de 𝑥. Mais avant de commencer à tracer des courbes, il faut garder à l’esprit le fait que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est la même que la limite de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎.

Voici les courbes représentatives de deux fonctions 𝑓 et ℎ, qui ont les mêmes limites lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 tel que requis, et aussi 𝑓 de 𝑥 est toujours inférieure ou égale à ℎ de 𝑥 pour toute valeur de 𝑥 dans le voisinage de 𝑎 tel que requis. Mais il faut encore tracer la courbe représentative de 𝑔 de 𝑥, dont la valeur est toujours comprise entre celles de 𝑓 de 𝑥 et ℎ de 𝑥. Essayons de tracer. Comme 𝑔 de 𝑥 est compris entre 𝑓 de 𝑥 et ℎ de 𝑥, la courbe représentative de 𝑔 de 𝑥 doit être comprise entre la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 et celle de ℎ de 𝑥. Nous commençons avec beaucoup d’espace entre les courbes de 𝑓 de 𝑥 de et de ℎ de 𝑥. Mais lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, et les courbes de 𝑓 de 𝑥 et ℎ de 𝑥 se rencontrent, nous sommes pris en étau dans le voisinage de ce point où elles se rencontrent. Bien sûr, après ce point, nous commençons à avoir de nouveau de l’espace. C’est l’encadrement mentionné dans le nom du théorème des gendarmes.

Et le théorème des gendarmes énonce ce que nous avons trouvé en essayant de tracer la représentation graphique de la fonction appropriée 𝑔. Que la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 doit également être 𝐿. Nous avons beaucoup de choix sur la valeur de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 n’est pas dans le voisinage de 𝑎. Mais lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, la valeur de 𝑔 de 𝑥 doit tendre vers 𝐿. Le théorème des gendarmes est un théorème très général. On n’y exige pas que les fonctions en question soient continues. Il s’applique tout aussi bien aux fonctions qui ne sont pas continues. Et nous pouvons rendre cette affirmation un peu plus claire en n’exigeant pas que 𝑓 de 𝑥 soit inférieure ou égale à 𝑔 de 𝑥, qui est inférieure ou égale à ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 est exactement 𝑎, tant que cette inégalité est valable ailleurs dans le voisinage de 𝑎.

J’espère que vous comprenez l’énoncé du théorème des gendarmes mieux qu’au début de la vidéo. Nous n’allons pas prouver le théorème des gendarmes dans cette vidéo. Ce que nous allons faire c’est l’appliquer à divers problèmes pour voir comment il est utile et pour approfondir notre compréhension. La figure montre les courbes représentatives des fonctions 𝐴 et 𝐵 avec 𝐴 de 𝑥 inférieure ou égale à 𝐵 de 𝑥 pour 𝑥 compris entre deux et 3.8. En regardant le diagramme, on voit que celle-ci doit être 𝐴 de 𝑥 et celle-là doit être 𝐵 de 𝑥.

On nous demande ce que nous dit le théorème des gendarmes sur une fonction continue 𝑓 dont la courbe se situe dans la région ombrée sur l’intervalle de deux à 3.8. Eh bien, que dit théorème des gendarmes ? Il énonce que si 𝑓 de 𝑥 est inférieure ou égale à 𝑔 de 𝑥, qui est inférieure ou égale à ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 est dans le voisinage de 𝑎 et que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 égale à la limite de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 qui égale 𝐿. Alors la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 égale aussi 𝐿. Comment cela nous aide-t-il avec notre question ?

Eh bien, on nous dit que la courbe de 𝑓 se situe dans la région ombrée. C’est entre les courbes de 𝐴 de 𝑥 et de 𝐵 de 𝑥. Et ainsi, pour toutes les valeurs de 𝑥 dans 𝐵 de 𝑥 intervalle ouvert de deux à 3.8, la valeur de 𝑓 de 𝑥 doit être comprise entre celle de 𝐴 de 𝑥 et de 𝐵 de 𝑥. Nous pouvons changer les noms des fonctions dans le théorème des gendarmes. Ce faisant, nous avons effectivement que 𝐴 de 𝑥 est inférieure ou égale à 𝑓 de 𝑥 qui est inférieure ou égale à 𝐵 de 𝑥 lorsque 𝑥 est dans le voisinage de 𝐴 ou au moins dans un intervalle. Maintenant, nous avons également besoin que les limites de 𝐴 de 𝑥 et de 𝐵 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 minuscule soient identiques.

En regardant le graphique, nous pouvons voir quand les limites de 𝐴 de 𝑥 et de 𝐵 de 𝑥 sont égales. C’est lorsque 𝑥 tend vers trois quand la limite est un. Donc, cette condition est également remplie avec 𝑎 égale trois et 𝐿 égale un. Nous pouvons donc en conclure que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 égale 𝐿. En utilisant le fait que 𝑎 égale trois et que 𝐿 égale un, nous obtenons que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois est un. Voici notre réponse. C’est ce que le théorème des gendarmes nous dit à propos de la fonction continue 𝑓 dont la courbe représentative se situe dans la région ombrée.

Ce résultat devrait avoir un sens. Si vous essayez de tracer une courbe dans la région ombrée, vous finirez par passer par ce point trois, un. Il est donc logique que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois soit égale à un. En fait, comme on nous dit que 𝑓 est une fonction continue, nous pouvons aller plus loin et dire que la valeur de 𝑓 de trois lorsqu’elle égale la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois doit égaler un. Voyons maintenant un exemple où le théorème des gendarmes nous aide à évaluer une limite importante.

Considérez l’arc suivant d’un cercle trigonométrique, où la demi-droite 𝑂𝑃 est incliné d’un angle 𝜃 radians. Première partie) Quelles sont, en fonction de 𝜃, les coordonnées du point 𝑃 ?

Eh bien, voici 𝑃. Et si nous considérons l’angle 𝑂𝑇𝑃 comme un angle droit, nous pouvons voir que 𝑃 est juste au-dessus du point 𝑇 avec comme coordonnées un, zéro. Et ainsi, la coordonnée 𝑥 du point 𝑃 doit être un. Mais qu’en est-il de la coordonnée 𝑦 ? Eh bien, la coordonnée 𝑦 de 𝑃 est la longueur de 𝑇𝑃. On trouve cette longueur en considérant le triangle rectangle 𝑂𝑇𝑃. L’origine 𝑂 a comme coordonnées zéro, zéro. Et ainsi, nous pouvons voir que la longueur 𝑂𝑇 est un.

Nous connaissons donc la longueur du côté adjacent à l’angle 𝜃. Et nous voulons connaître la longueur du côté opposé. Nous devrions alors utiliser tan 𝜃, qui est le rapport de la longueur du côté opposé à l’angle 𝜃. C’est 𝑇𝑃 divisé par la longueur du côté adjacent qui est le côté 𝑂𝑇 dont on connaît la longueur, soit un. La longueur 𝑇𝑃 qui, rappelez-vous, est la coordonnée 𝑦 de 𝑃 est donc tan 𝜃. Et ainsi, les coordonnées du point 𝑃 sont un, tan 𝜃.

Deuxième partie) Écris les inégalités suivantes en fonction de sin 𝜃, 𝜃 et cos 𝜃. La longueur de 𝑄𝑅 est strictement inférieure à la longueur de l’arc de 𝑇 à 𝑄, qui est strictement inférieure à la longueur de 𝑇𝑃.

Commençons par 𝑄𝑅. Là encore, il est préférable de trouver ceci en considérant un triangle rectangle, dans ce cas le triangle rectangle 𝑂𝑅𝑄. Maintenant, comme le point 𝑄 appartient au cercle trigonométrique, sa distance par rapport à l’origine égale un. Et 𝑂𝑄 est donc un. Nous avons la longueur de l’hypoténuse du triangle rectangle. Et nous voulons déterminer la longueur du côté opposé à l’angle 𝜃. C’est la longueur de 𝑄𝑅. Donc, comme nous voudrions déterminer le côté opposé et que nous avons l’hypoténuse, nous utilisons le sinus. Sin 𝜃 est le côté opposé — c’est 𝑄𝑅 — sur l’hypoténuse. Ainsi, 𝑄𝑅 est sin 𝜃.

Nous déterminons maintenant la longueur de l’arc de 𝑇 à 𝑄. C’est cette longueur ici. Eh bien, nous pouvons voir que cet arc sous-tend un angle 𝜃 au centre de ce cercle trigonométrique. Et on nous dit dans la question que 𝜃 est mesuré en radians. Par définition, la longueur de l’arc de 𝑇 à 𝑄 est 𝜃. D’autre part, vous pouvez trouver 𝜃 en radians comme le rapport entre la longueur de l’arc et celle du rayon. Mais comme nous sommes dans le cercle trigonométrique, le rayon est un. Et ainsi, 𝜃 est la longueur de l’arc 𝑇𝑄. Qu’en est-il de la longueur 𝑇𝑃 ?

Eh bien, rappelez-vous que dans la première partie de la question nous avons trouvé que c’était tan 𝜃. 𝑇𝑃 était la coordonnée 𝑦 du point 𝑃. Mais on nous demande de donner notre réponse en fonction de sin 𝜃, 𝜃 et cos 𝜃. Nous réécrivons donc tan 𝜃 comme sin 𝜃 sur cos 𝜃. Notre inégalité devient sin 𝜃 est strictement inférieur à 𝜃 qui est strictement inférieur à sin 𝜃 sur cos 𝜃.

Enfin, la troisième partie) En divisant vos inégalités par sin 𝜃, à l’aide du théorème des gendarmes et le fait que la limite de cos 𝜃 lorsque 𝜃 tend vers zéro est un, laquelle des conclusions suivantes pouvez-vous tirer ? A) que la limite de 𝜃 sur sin 𝜃 lorsque 𝜃 tend vers zéro est zéro, B) que cette limite n’existe pas ou C) que cette limite a une valeur, soit un.

Nous commençons par diviser les inégalités obtenues dans la deuxième partie de la question par sin 𝜃. Sin 𝜃 divisé par sin 𝜃 est un. On ne peut pas simplifier 𝜃 divisé par sin 𝜃 davantage. Mais sin 𝜃 sur cos 𝜃 divisé par sin 𝜃 peut être simplifié. Nous obtenons un sur cos 𝜃. Maintenant, nous utilisons le théorème des gendarmes. Mais comment devrions-nous l’utiliser ? Eh bien, les options nous donnent un indice. En principe, on nous demande les limites de 𝜃 sur sin 𝜃 lorsque 𝜃 tend vers zéro. Alors, quelle est cette limite ? Eh bien, nous avons deux fonctions de chaque côté de 𝜃 sur sin 𝜃. La limite de un est bien sûr un. La limite de un sur cos 𝜃 est un peu plus compliquée. Nous devons utiliser le fait que la limite d’un quotient est le quotient de la limite.

Mais ceci fait, nous savons quelle est la limite de cos 𝜃 lorsque 𝜃 tend vers zéro. On nous dit cela dans la question. Cette valeur est un. Et ainsi, la limite de un sur cos 𝜃 lorsque 𝜃 tend vers zéro est un sur un qui est un. Donc, la fonction un et la fonction un sur cos 𝜃 ont toutes deux la même limite : la limite un lorsque 𝜃 tend vers zéro. Et ainsi, comme 𝜃 sur sin 𝜃 se trouve entre ces deux fonctions pour des valeurs 𝜃 dans le voisinage de zéro, nous pouvons appliquer le théorème des gendarmes. La limite de 𝜃 sur sin 𝜃 lorsque 𝜃 tend vers zéro doit aussi égaler un, tout comme les deux autres limites. C’est notre réponse qui correspond à l’option C.

En corollaire, nous pouvons prendre la réciproque et dire que la limite de sin 𝜃 sur 𝜃 lorsque 𝜃 tend vers zéro égale un. C’est une limite très importante à connaître. Parce qu’avec la limite correspondante pour cosinus, cela nous permet de dériver les fonctions trigonométriques. Le fait que nous obtenions une réponse aussi simple pourrait être surprenant. En fait, si nous obtenons la valeur un c’est parce que nous mesurons en radians. Si nous mesurions en degrés, alors notre réponse aurait été 𝜋 divisée par 180, qui est beaucoup moins raffinée. La raison pour laquelle nous utilisons des radians plutôt que d’autres unités d’angles c’est de rendre cette limite égale à un. Regardons maintenant notre dernier exemple.

Calculez la limite de 𝑥 au carré fois cos de deux sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro en utilisant le théorème des gendarmes.

Rappelons-nous le théorème des gendarmes. Il énonce que si 𝑓 de 𝑥 est inférieure ou égale à 𝑔 de 𝑥, qui est inférieure ou égale à ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 est dans le voisinage de 𝑎, et que la limite de 𝑓 de 𝑥 égale la limite de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Nous appellerons cette limite 𝐿. Alors la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 égale aussi 𝐿. Comment utilisons-nous ce théorème pour calculer cette limite ici ? Eh bien, si on pose 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 au cube fois cos deux sur 𝑥, et si on considère 𝑎 égale zéro, alors la limite que nous devons déterminer est la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎.

Maintenant, si nous pouvons trouver les fonctions 𝑓 et ℎ qui, respectivement, sous-estiment et surestiment la fonction 𝑔, et qui ont la même limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 qui est zéro. Alors la limite que nous recherchons aura également cette valeur. Nous écrivons cette idée pour nous en rappeler. Il ne nous reste plus qu’à trouver une sous-estimation 𝑓 de 𝑥 et une surestimation ℎ de 𝑥 pour notre fonction, qui ont la même limite lorsque 𝑥 tend vers zéro. Comment allons-nous faire cela ?

Eh bien, la partie difficile de notre fonction est le facteur cos deux sur 𝑥. C’est la partie de la fonction qui nous indique que nous ne pouvons pas faire une substitution directe. En fait, la limite de cos de deux sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro est indéfinie, et vous pouvez le voir en représentant la fonction graphiquement à l’aide d’un ordinateur ou d’une calculatrice graphique. Cependant, il n’y a pas d’asymptotes ici. L’intervalle représentant cosinus va de moins un à un. Le cosinus de n’importe quel nombre devra être compris entre moins un et un. Et cela reste vrai même si ce nombre est deux sur 𝑥. Une autre façon de dire cela est que la valeur absolue de cosinus deux sur 𝑥 est toujours inférieure ou égale à un. En conséquence, la valeur absolue de notre fonction 𝑔 de 𝑥 est inférieure ou égale à la valeur absolue de 𝑥 au cube. Une autre façon de le dire est que 𝑥 au cube cos deux sur 𝑥 se situe entre moins la valeur absolue de 𝑥 au cube et la valeur absolue de 𝑥 au cube.

Avons-nous alors trouvé nos fonctions 𝑓 de 𝑥 et ℎ de 𝑥 alors ? Peut-être. Mais il faut vérifier que leurs limites lorsque 𝑥 tend vers zéro sont les mêmes. Faisons de la place pour cela. Nous devons trouver la limite de 𝑓 de 𝑥 — c’est moins la valeur absolue de 𝑥 au cube lorsque 𝑥 tend vers zéro — et la limite de ℎ de 𝑥. C’est la valeur absolue de 𝑥 au cube lorsque 𝑥 tend vers zéro. Ces deux fonctions sont continues. Et ainsi, ces limites peuvent être évaluées en utilisant une substitution directe. Moins la valeur absolue de zéro au cube est juste zéro, et aussi la valeur absolue de zéro au cube. Alors oui, les limites de 𝑓 de 𝑥 et de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro sont les mêmes.

La valeur de la limite 𝐿 est zéro. Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, la limite de 𝑥 au cube fois cos deux sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro égale aussi zéro. C’est notre réponse. En observant ce diagramme, vous pouvez voir comment la courbe représentative de la fonction 𝑥 au cube fois cos deux sur 𝑥 est prise en étau entre celles de la valeur absolue de 𝑥 au cube et son inverse. Et ainsi, sa limite lorsque 𝑥 tend vers zéro doit être zéro, bien que la fonction elle-même ne soit pas définie en 𝑥 égale zéro.

Bon, récapitulons ce que nous avons appris dans cette vidéo. Nous avons vu l’énoncé du théorème si 𝑓 de 𝑥 est inférieure ou égale à 𝑔 de 𝑥, qui est à son tour inférieure ou égale à ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 est dans le voisinage de 𝑎, et que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 égale la limite de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 qui est 𝐿. Alors la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est également 𝐿. Nous pouvons évaluer la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 en déterminant les fonctions 𝑓 de 𝑥 et ℎ de 𝑥 telles que 𝑓 de 𝑥 soit inférieure ou égale à 𝑔 de 𝑥 qui est inférieure ou égale à ℎ de 𝑥 dans le voisinage de 𝑎, et la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 égale la limite de ℎ de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Nous appellerons cela 𝐿 et appliquerons le théorème des gendarmes. En appliquant le théorème des gendarmes, nous trouvons que la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est également 𝐿. La méthode ci-dessus nous permet de déterminer les limites des fonctions combinant polynômes, fonctions trigonométriques et quotients. Certaines de ces limites sont très importantes.

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