Vidéo de la leçon: Utiliser les Déterminants pour Calculer les Aires

Transcription de la vidéo

Utiliser les Déterminants pour Calculer les Aires

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les déterminants pour calculer les aires de divers polygones. Nous allons discuter de comment utiliser les déterminants pour calculer les aires des triangles à partir des coordonnées de leurs sommets et comment calculer les aires de parallélogrammes à partir de leurs sommets ou des vecteurs qui les définissent. Nous allons également discuter de comment étendre cela à des polygones plus compliqués.

Pour commencer à discuter de ce sujet, nous devons d’abord répondre à une question très importante. Que signifie le déterminant d’une matrice ? Nous connaissons la définition du déterminant et nous savons comment le calculer. Cependant, nous ne savons pas ce que cela signifie réellement. Il y a en fait plusieurs interprétations sur la signification du déterminant d’une matrice. Nous n’en examinerons qu’un seul.

Nous allons commencer par ce qu’on entend par le déterminant d’une matrice deux deux, la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Le déterminant de cette matrice deux deux est l’aire signée du parallélogramme dont les côtés sont définis par les lignes ou les colonnes de cette matrice. Pour l’instant, ceci est une phrase très compliquée. Cependant, si on la décompose pièce par pièce, cela peut être beaucoup plus facile à comprendre. Nous allons commencer par définir notre parallélogramme par les lignes de notre matrice. Et nous allons voir comment créer ce parallélogramme.

Donc, notre matrice a deux lignes. La première ligne est 𝑎, 𝑏. Et la première chose que nous allons faire est de définir un vecteur 𝐕 un, qui aura une composante horizontale 𝑎 et une composante verticale 𝑏. Nous allons ensuite faire la même chose pour la deuxième ligne. Cela nous donne un deuxième vecteur 𝐕 deux. Et il est important de souligner qu’on peut également choisir les colonnes de notre matrice pour définir ce parallélogramme. La seule différence est qu’on choisirait les colonnes de la matrice et on se retrouverait avec des vecteurs colonnes. Cependant, nous allons simplement considérer l’exemple des lignes.

Et maintenant, avec ces deux vecteurs, on peut définir un parallélogramme. Si on commence à un point et qu’on organise nos vecteurs sous la forme suivante, on obtient un parallélogramme. Maintenant, notre définition du déterminant nous dit que le déterminant de cette matrice est l’aire signée de ce parallélogramme. En d’autres termes, si on appelle ce parallélogramme 𝑃, alors l’aire de 𝑃 est égale soit au déterminant de cette matrice, soit à moins un multiplié par le déterminant de cette matrice. Et ceci, parce qu’on sait que le déterminant peut donner une valeur négative. Mais nous ne voulons pas de valeur négative pour notre aire.

Cela nous donne une formule utile pour calculer l’aire de tout parallélogramme. Et vous verrez souvent cela exprimé de deux manières différentes. Tout d’abord, nous allons prendre la valeur absolue du côté droit de cette équation. Cela élimine ensuite le besoin de gérer une valeur positive ou négative. Cependant, certaines personnes préfèrent utiliser cette notation pour le déterminant d’une matrice. Vous pouvez également voir cela écrit comme plus ou moins le déterminant de notre matrice. Et tout cela signifie exactement la même chose. On calcule simplement le déterminant de cette matrice et on considère la valeur positive.

Et il y a deux choses à souligner ici. Tout d’abord, rappelons qu’on aurait pu prendre des vecteurs colonnes au lieu de vecteurs lignes. Si on examine plutôt les colonnes de la matrice, cela aurait donné exactement le même résultat. La deuxième chose à noter est ce qui se passerait si 𝐕 un et 𝐕 deux ne formaient pas un parallélogramme. Par exemple, si 𝐕 un et 𝐕 deux pointent exactement dans le même sens ou dans des sens opposés ou si un des deux vecteurs entre 𝐕 un ou 𝐕 deux est le vecteur nul, alors on n’aurait pas une figure avec une aire. L’aire aurait été de zéro. Et c’est exactement ce qu’on entend par le déterminant égal à zéro.

Et il se trouve que l’on peut également étendre cette définition du déterminant à des matrices plus grandes. Le déterminant d’une matrice trois trois est le volume signé du parallélépipède, c’est-à-dire la version tridimensionnelle d’un parallélogramme, avec les côtés définis par les lignes ou les colonnes de cette matrice. Pour l’instant, savoir exactement pourquoi cela est vrai est hors du cadre de cette vidéo. Cependant, en supposant que cela est vrai et en utilisant une manipulation algébrique et la géométrie, on peut arriver à un résultat très utile.

Si on connait les coordonnées des sommets d’un triangle 𝑇, on peut calculer son aire. Son aire est égale à un-demi fois la valeur absolue du déterminant d’une matrice trois trois, où chaque ligne est la paire de coordonnées où l’on ajoute un un supplémentaire. Encore une fois, prouver cette affirmation dépasse le cadre de cette vidéo. Cependant, nous allons voir comment l’utiliser dans quelques exemples.

Calculez l’aire du triangle ci-dessous en utilisant les déterminants.

La question nous demande de trouver l’aire du triangle qui nous est donné dans la figure. Et on nous demande de le faire en utilisant les déterminants. Donc, nous allons commencer par rappeler comment trouver l’aire d’un triangle en utilisant les déterminants. Nous rappelons qu’il suffit de trouver les coordonnées de ses trois sommets, puis utiliser la formule suivante. L’aire de 𝑇 est égale à un-demi multiplié par la valeur absolue du déterminant d’une matrice trois trois, où chaque ligne de notre matrice est formée par les coordonnées du sommet et un un supplémentaire.

La première chose à faire est donc de trouver les trois coordonnées des sommets de notre triangle. On obtient moins un, moins quatre ; zéro, quatre ; et quatre, moins deux. Et il y a quelque chose qu’on doit souligner ici. Le point qu’on appelle un, deux ou trois, n’est pas important. Cela ne ferait que changer le signe de notre déterminant. Mais on considère sa valeur absolue, donc cela ne changera pas notre réponse.

Nous allons donc simplement choisir de numéroter nos points de gauche à droite. Cela nous donne l’aire du triangle 𝑇 égale à un demi multiplié par la valeur absolue du déterminant de cette matrice trois trois. Donc, nous devons maintenant calculer ce déterminant. Et il y a plusieurs façons de le faire. Nous allons utiliser les mineurs. Et nous allons développer selon la première colonne car elle contient un zéro.

Tout d’abord, on commence par rappeler les signes par lesquels on doit multiplier. On a plus, moins, plus. Ensuite, nous devons trouver nos mineurs. Nous allons commencer par trouver le premier en supprimant la première ligne et la première colonne. On obtient moins un multiplié par le déterminant de la matrice deux deux quatre, un, moins deux, un. Ensuite, le deuxième terme de notre développement a un coefficient de zéro. Nous n’avons donc pas besoin de faire cela. Nous allons donc passer au troisième terme.

Premièrement, on sait qu’on doit le multiplier par quatre. Et on doit trouver le mineur en supprimant la première colonne et la troisième ligne. On obtient alors quatre multiplié par le déterminant de la matrice deux deux, moins quatre, un, quatre, un. Maintenant, tout ce qu’il reste à faire est de calculer ces déterminants. Tout d’abord, on a quatre fois un moins moins deux fois un. Ensuite, on a moins quatre multiplié par un moins quatre fois un.

Maintenant, il ne reste plus qu’à calculer cette expression. Tout d’abord, moins un multiplié par quatre fois un moins moins deux fois un est égal à moins six. Ensuite, quatre fois moins quatre fois un moins quatre fois un est égal à moins 32. Donc, cela nous donne un-demi fois la valeur absolue de moins six moins 32. Moins six moins 32 est égal à moins 38. La valeur absolue de moins 38 est 38. Ensuite, on multiplie cela par un-demi pour obtenir 19. Mais rappelons que cela nous donne l’aire d’un triangle, nous pouvons donc ajouter des unités. Ceux-ci doivent être en unités carrées.

Par conséquent, nous avons pu montrer que l’aire du triangle qui nous est donné dans la figure est de 19 unités carrées. Il convient également de souligner que nous aurions pu trouver l’aire de ce triangle en utilisant la géométrie. Et cela nous donne un bon moyen de vérifier notre réponse finale.

Voyons maintenant un exemple de comment utiliser les déterminants pour trouver les coordonnées du sommet d’un triangle.

Si l’aire d’un triangle dont les sommets sont ℎ, zéro ; six, zéro ; et zéro, trois est neuf unités carrées, alors ℎ est égal à (A) zéro ou 12, (B) zéro ou moins 12, (C) moins six ou six, (D) moins 12 ou 12.

On sait qu’un triangle a une aire de neuf unités carrées. Et on nous donne les trois coordonnées de ses sommets. Nous devons utiliser ces informations pour trouver les valeurs possibles de ℎ. Il convient de souligner ici qu’une méthode pour le faire est de tracer ces trois points sur une figure, puis de calculer les aires possibles. Et cela fonctionne certainement et peut être utilisé pour obtenir la bonne réponse. Cependant, nous allons le faire en utilisant les déterminants.

Rappelons qu’on peut calculer l’aire 𝐴 d’un triangle étant donné ses sommets en utilisant la formule suivante. 𝐴 est égal à un demi multiplié par la valeur absolue du déterminant d’une matrice trois trois, où chaque ligne de la matrice est la paire de coordonnées avec une valeur supplémentaire de un. Et l’ordre dans lequel nous choisissons nos points importe peu. Nous allons donc les classer de gauche à droite. Donc, lorsqu’on utilise les sommets donnés dans la question, on obtient que l’aire du triangle est égale à un-demi fois la valeur absolue du déterminant de la matrice trois trois suivante.

Ensuite, nous allons devoir trouver la valeur de ce déterminant. Il y a plusieurs façons de le faire. Nous pouvons voir qu’une des colonnes de notre matrice a deux valeurs de zéro. Nous allons donc trouver ce déterminant en développant selon la deuxième colonne. Nous devons donc le faire en trouvant les mineurs de la matrice. Rappelons que, nos deux premières valeurs sont zéro. Nous n’avons donc pas besoin de les calculer. Il ne reste qu’à construire le dernier en multipliant par le coefficient trois. Et rappelons qu’on multiple cela par moins un puissance trois plus deux car on se situe à la troisième ligne, deuxième colonne.

Maintenant, rappelons que nous devons trouver le déterminant du mineur qu’on obtient en supprimant la troisième ligne et la deuxième colonne. On peut voir que cela donne la matrice deux deux, ℎ, un, six, un. Nous avons donc montré que l’aire de notre triangle est égale à un-demi fois la valeur absolue de moins un puissance trois plus deux fois trois multiplié par le déterminant de la matrice deux deux, ℎ, un, six, un.

Maintenant, il ne nous reste plus qu’à évaluer cette expression. Tout d’abord, moins un puissance trois plus deux est égal à moins un. Ensuite, si on évalue le déterminant de la matrice deux deux, on voit que cela donne ℎ moins six. Ainsi, l’aire de notre triangle est un-demi fois la valeur absolue de moins trois fois ℎ moins six. Et on peut encore simplifier. On retire moins trois de la valeur absolue. Et rappelons que cela signifie que cela devient plus trois. On obtient donc trois sur deux fois la valeur absolue de ℎ moins six.

On sait que la question stipule que l’aire du triangle est égale à neuf. Ainsi, cette expression doit être égale à neuf. Il nous faut juste résoudre une équation avec le symbole de la valeur absolue. Nous allons commencer par diviser les deux côtés de notre équation par trois sur deux. Neuf divisé par trois sur deux est égal à six. On a six est égal à la valeur absolue de ℎ moins six.

Rappelons que pour résoudre des équations avec le symbole de la valeur absolue, on doit considérer la solution positive et négative de la valeur absolue. Et en considérant le positif et le négatif, on a deux équations à résoudre. Six est égal à ℎ moins six, et six est égal à moins un fois ℎ moins six. Et ce sont deux équations linéaires que nous pouvons résoudre. On obtient ℎ est égal à 12 ou ℎ est égal à zéro. Ce qui correspond à l’option (A). Par conséquent, nous avons pu montrer que ℎ est égal à zéro ou à 12.

Et il convient également de souligner qu’on peut vérifier notre réponse en substituant les valeurs de ℎ dans cette paire de coordonnées, tracer ces points, puis calculer l’aire du triangle et voir qu’on obtient neuf. Et cela peut être un bon moyen pour vérifier que notre réponse est juste.

Voyons maintenant une autre façon de calculer l’aire d’un triangle en utilisant les déterminants.

Utilisez les déterminants pour calculer l’aire du triangle de sommets deux, moins deux ; quatre, moins deux ; et zéro, deux en considérant le triangle comme un demi-parallélogramme.

Nous voulons déterminer l’aire d’un triangle en utilisant les déterminants. Et on nous donne les coordonnées de ses sommets. Nous pourrions donc faire cela directement à partir de notre formule. Cependant, ce n’est pas ce que l’on nous nous demande. On nous demande de considérer le triangle comme la moitié d’un parallélogramme. Donc, pour ce faire, nous allons commencer par tracer nos trois points pour avoir une idée de ce à quoi notre parallélogramme pourrait ressembler. Si on trace les trois points et qu’on les relie, on obtient un triangle qui ressemble à ceci. La question devient alors : comment le transformer en un parallélogramme ?

Et bien que cela ne semble pas être le cas, il y a trois façons différentes de le faire. Il y a plusieurs façons de considérer cela. On peut le faire géométriquement. Dessinons une copie exacte de notre triangle. Et on peut envisager la figure comme si on devait coller deux des côtés. Si on fait cela, on obtient une forme qui ressemble à ceci. Et nous pouvons trouver la coordonnée de ce sommet en utilisant ce que nous savons des vecteurs. Ceci est un parallélogramme avec deux fois l’aire de notre triangle initial car il est composé de deux triangles d’aire égale. Mais ce n’était pas le seul choix pour le côté. Par exemple, nous aurions pu choisir ce côté. Si on devait coller ces deux triangles ensemble le long de ce côté, on obtiendrait quelque chose qui ressemble à la figure suivante. Et encore une fois, on peut trouver les coordonnées de ce sommet en utilisant ce qu’on sait des vecteurs.

Encore une fois, l’aire de ce triangle plus le triangle vert est toujours le double de l’aire de notre triangle initial. Donc, on a un parallélogramme avec deux fois l’aire de notre triangle. Enfin, on peut faire exactement la même chose en combinant les deux derniers côtés. Et si on fait cela, on obtient quelque chose de similaire. On obtient un troisième parallélogramme. On peut trouver les coordonnées de son sommet. Et l’aire de ce parallélogramme est le double de l’aire de notre triangle initial. L’option que nous choisissons importe peu. Pour plus de simplicité, nous allons choisir l’exemple suivant. Et il convient de souligner qu’il n’était pas nécessaire de le faire géométriquement. Vous pouvez également le faire en choisissant deux des côtés du triangle comme vecteur. Cela nous donnerait le même résultat.

La question nous demande maintenant de trouver l’aire de ce parallélogramme. Et nous demande de le faire en utilisant les déterminants. Rappelons que nous savons comment trouver l’aire d’un parallélogramme en utilisant les déterminants. Si nous définissons notre parallélogramme par les vecteurs de ses côtés, 𝐕 un et 𝐕 deux, alors son aire 𝐴 est égale à la valeur absolue du déterminant de la matrice deux deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, où nos vecteurs lignes sont les lignes de notre matrice. Et on aurait également pu utiliser les vecteurs colonnes et utiliser les colonnes de notre matrice à la place. Cela ne changerait pas notre réponse.

Donc, pour répondre à cette question, on doit trouver les vecteurs 𝐕 un et 𝐕 deux. Il existe plusieurs façons de le faire. Commençons par trouver 𝐕 un. Dans 𝐕 un, la composante 𝑥 commence à deux et se termine à zéro. Ainsi, la composante horizontale ou la variation de 𝑥 de 𝐕 un est zéro moins deux, ce qui est moins deux. On peut faire la même chose pour la composante verticale. On a une coordonnée 𝑦 qui finit à deux et commence à moins deux. On obtient donc deux moins moins deux, qui est égal à quatre. Donc 𝐕 un est le vecteur moins deux, quatre. On peut alors faire exactement la même chose pour trouver le vecteur 𝐕 deux. 𝐕 deux est deux, zéro.

Nous pouvons maintenant utiliser notre formule. L’aire de notre parallélogramme est la valeur absolue du déterminant de la matrice deux deux : moins deux, quatre, deux, zéro, où moins deux, quatre est 𝐕 un et deux, zéro est 𝐕 deux. Et on peut évaluer cette expression. On a la valeur absolue de moins deux fois zéro moins quatre fois deux, ce qui est égal à huit. Mais rappelons qu’il s’agit de l’aire de notre parallélogramme. Et donc le double de l’aire de notre triangle. Nous devons donc diviser cette valeur par deux. On divise donc par deux. Et on obtient que l’aire de notre triangle est égale à quatre.

Et une chose à noter ici est que nous n’avons jamais eu besoin de calculer la quatrième coordonnée de notre parallélogramme. En effet, l’aire d’un parallélogramme est entièrement définie par les vecteurs qui composent le parallélogramme.

Voyons maintenant un exemple de comment calculer l’aire d’un polygone plus compliqué.

Considérons le quadrilatère avec les sommets 𝐴 un, trois ; 𝐵 quatre, deux ; 𝐶 4,5, cinq ; et 𝐷 deux, six. En le divisant en deux triangles comme indiqué, calculez l’aire du quadrilatère en utilisant les déterminants.

On a un quadrilatère défini par quatre sommets qui nous sont donnés. On veut calculer son aire en utilisant les déterminants. On peut voir sur la figure que ce n’est pas un parallélogramme. Donc, nous allons diviser la figure en triangles et calculer l’aire de chaque triangle en utilisant les déterminants. Commençons donc par rappeler comment calculer l’aire d’un triangle en utilisant les déterminants.

Rappelons que, si on connait les coordonnées des trois sommets d’un triangle, alors son aire est égale à un-demi fois la valeur absolue du déterminant de la matrice trois trois, où chaque ligne de cette matrice est la paire de coordonnées d’un sommet, puis une coordonnée supplémentaire de un. Et on nous demande de diviser notre quadrilatère en deux triangles : le triangle 𝐴𝐷𝐶 et le triangle 𝐴𝐵𝐶. Nous allons donc appliquer cette formule à ces deux éléments.

Commençons donc par déterminer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, que nous allons simplement écrire comme 𝐴𝐵𝐶. À partir de notre formule, nous devons connaître les coordonnées de ces trois sommets, données dans la question. Nous les écrivons donc dans notre matrice, puis ajoutons une colonne supplémentaire de un. Cela nous donne l’expression suivante pour l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶.

Maintenant, pour évaluer cette expression, nous allons calculer son déterminant. On fait cela en développant la troisième colonne. Tout d’abord, on détermine le signe par lequel on doit multiplier chacune de ces colonnes. On a plus, moins, plus. Nos trois coefficients sont donc plus un, moins un et plus un. Ensuite, nous devons trouver les déterminants des trois mineurs de la matrice. Lorsqu’on supprime la première ligne et la troisième colonne, on obtient la matrice ; quatre, deux, 4,5, cinq. Nous devons ensuite soustraire le déterminant de notre deuxième mineur. Puis, enfin, nous devons additionner le déterminant de notre troisième mineur. Cela nous donne l’expression suivante, qui est égale à l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶.

Il ne nous reste plus qu’à évaluer chacun de ces trois déterminants. Commençons par le premier déterminant. On a quatre fois cinq moins 4,5 fois deux. Cela fait 20 moins neuf, ce qui est égal à 11. Lorsqu’on calcule le deuxième déterminant et que l’on simplifie, on obtient cinq moins trois fois 4,5, soit moins 17 sur deux. Mais rappelons qu’on doit soustraire cette valeur. Enfin, nous devons calculer le troisième déterminant. Et on a deux fois un moins trois fois quatre. Cela fait deux moins 12, qui est égal à moins 10. Donc, cela nous donne l’aire de 𝐴𝐵𝐶 qui est un-demi fois la valeur absolue de 11 moins moins 17 sur deux plus moins 10. Et si on évalue cette expression, elle est égale à 19 sur quatre.

Gardons cela en tête et faisons maintenant la même chose pour trouver l’aire de 𝐴𝐷𝐶. Cette fois, nos trois sommets sont 𝐴, 𝐶 et 𝐷. Rappelons que, pour utiliser cette formule, on ajoute ces paires de coordonnées dans la matrice, puis on ajoute une coordonnée supplémentaire de un. Cela nous donne l’aire de 𝐴𝐷𝐶 qui est l’expression suivante. Et nous allons l’évaluer de la même manière. Nous allons développer selon notre troisième colonne. Bien sûr, la troisième colonne sera toujours plus, moins, plus. Nous devons donc commencer par ajouter le déterminant de notre premier mineur en supprimant la première ligne et la troisième colonne. On a la matrice 4,5, cinq, deux, six. Ensuite, on doit soustraire le déterminant de notre deuxième mineur en supprimant la deuxième ligne et la troisième colonne. On a la matrice un, trois, deux, six. Ensuite, on additionne le déterminant de notre troisième mineur, ce qui donne l’expression suivante pour l’aire de 𝐴𝐷𝐶.

Maintenant, il ne nous reste plus qu’à évaluer ces déterminants. Notre premier déterminant est six fois 4,5 moins deux fois cinq, qui est égal à 17. Notre deuxième déterminant est six fois un moins deux fois trois, ce qui est égal à zéro. Et si on calcule notre troisième déterminant, on obtient moins 17 sur deux. Enfin, nous pouvons simplement calculer cette expression. Qui donne un-demi fois la valeur absolue de 17 moins 17 sur deux, ce qui est égal à 17 sur quatre.

Rappelons que, l’aire de notre quadrilatère sera la somme de ces deux valeurs. Et si on additionne ces deux valeurs et qu’on les simplifie, on obtient que l’aire de notre quadrilatère est de neuf. Et il y a une chose intéressante à noter à propos de cette formule. Que se passerait-il si l’aire de notre triangle était zéro ?

Eh bien, pour que l’aire soit zéro, la figure ne doit pas être un triangle. Et puisqu’un triangle est constitué de trois points qui ne se trouvent pas sur la même droite, cela signifie que nos trois points doivent se trouver sur la même droite. En d’autres termes, ils sont colinéaires. Mais considérons maintenant notre formule. La seule partie de notre formule qui peut être égale à zéro est le déterminant de cette matrice. Cela nous donne un test de colinéarité de trois points.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Premièrement, nous avons montré qu’on peut trouver l’aire d’un parallélogramme si ses côtés sont les vecteurs de composantes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, comme étant égale à la valeur absolue du déterminant de la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Nous avons également vu qu’on peut utiliser des vecteurs colonnes. Nous avons également vu comment trouver l’aire d’un triangle si on connait les coordonnées de ses sommets en utilisant les déterminants. Nous savons également que si l’aire d’un triangle est égale à zéro, ses sommets doivent être colinéaires. Donc, cela nous donne un test pour vérifier si trois points sont colinéaires. Enfin, nous avons vu qu’on peut trouver l’aire des polygones compliqués si on peut les diviser en triangles.