Transcription de la vidéo
On considère les points 𝐴 cinq, moins un, moins huit et 𝐵 moins trois, moins neuf, moins six. Déterminez la composante du vecteur 𝐕 égale moins cinq 𝐢 moins deux 𝐣 plus deux 𝐤 dans la direction 𝐀𝐁, arrondie au centième près.
D’accord, dans cet exercice, nous avons ce vecteur 𝐕 et les points 𝐴 et 𝐵 qui existent tous dans un espace tridimensionnel. Si nous disons que ceci est le point 𝐴 et ceci le point 𝐵, alors le vecteur 𝐀𝐁 va du point 𝐴 au point 𝐵 comme ceci. Nous voulons comprendre à quel point ce vecteur 𝐕 chevauche le vecteur 𝐀𝐁. Pour commencer à résoudre ce problème, trouvons les composantes de ce vecteur 𝐀𝐁. Il s’agit d’un vecteur donné par les coordonnées de 𝐵 moins les coordonnées de 𝐴. Nous substituons ces coordonnées indiquées. Et lorsque nous effectuons cette soustraction, nous avons moins trois moins cinq, soit moins huit, moins neuf moins moins un, qui est aussi moins huit, puis moins six moins moins huit. Cela équivaut à plus deux. Les composantes du vecteur 𝐀𝐁 sont moins huit, moins huit, deux.
Sachant cela, nous pouvons maintenant écrire le vecteur 𝐕 dans la même notation en utilisant des parenthèses. C’est moins cinq, moins deux, plus deux. Rappelons-nous maintenant que si nous voulons résoudre en général la composante d’un vecteur 𝐀 dans la direction d’un autre vecteur 𝐁, cela équivaut au produit scalaire des vecteurs divisé par la norme du deuxième vecteur. Lorsque nous calculons cela, nous calculons ce que l’on appelle la projection scalaire de 𝐀 sur 𝐁. En appliquant cette relation à notre scénario, ce que nous voulons calculer est 𝐕 scalaire 𝐀𝐁 sur la norme de 𝐀𝐁. Cela nous donnera la composante du vecteur 𝐕 dans la direction de 𝐀𝐁. Remplacer par les valeurs connues de ces vecteurs nous donne ceci.
Notez que nous utilisons le fait que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Nous pouvons effectuer ce calcul d’abord dans notre numérateur en multipliant les composantes correspondantes de ces vecteurs et ensuite dans notre dénominateur, en mettant au carré ces composantes du vecteur 𝐀𝐁. La réalisation de cette opération nous donne dans notre numérateur 40 plus 16 plus quatre et dans notre dénominateur la racine carrée de 64 plus 64 plus quatre. Cela équivaut à 60 divisé par la racine carrée de 132. C’est la réponse exacte, mais nous voulons donner un résultat final arrondi au centième près. En calculant cette fraction alors, au centième près, elle est égale à 5,22. C’est la composante du vecteur 𝐕 dans la direction 𝐀𝐁.
