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Lequel des choix suivants représente la formule utilisée pour calculer l’aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés de longueur 𝑥 ? Est-ce l’option (A) 𝑛𝑥 au carré divisé par quatre fois le cot de 𝜋 par 𝑛? Option (B) 𝑛𝑥 au carré divisé par quatre fois le tan de 𝜋 par 𝑛. Est-ce l’option (C) 𝑛𝑥 au carré divisé par deux tan de 𝜋 par 𝑛? Option (D) 𝑛𝑥 divisé par quatre tan de 𝜋 par 𝑛. Est-ce l’option (E) 𝑛𝑥 au carré divisé par quatre fois le tan de 𝜋?
Dans cette question, on nous demande de rappeler laquelle des cinq options données est la formule de calcul de l’aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés avec longueur de côté 𝑥. Bien sûr, nous pourrions simplement répondre à cette question en rappelant la formule de l’aire d’un polygone régulier. Nous rappelons que l’aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés de longueur de côté 𝑥 d’angle interne mesuré en radians est donnée par 𝑛𝑥 au carré multiplié par la cotangente de 𝜋 par 𝑛.
Cette formule ne correspond pas exactement à que ce qu’on a parmi les cinq options données. Cependant, nous pouvons réécrire ceci en rappelant que multiplier par la cotangente d’un angle revient à diviser par la tangente d’un angle. Cela nous donne alors 𝑛𝑥 au carré divisé par quatre fois la tangente de 𝜋 divisé par 𝑛, qui correspond à l’option (B). Nous pourrions nous arrêter ici car il est très utile de mémoriser cette formule. Cependant, il est également utile de voir d’où vient cette formule.
Alors, voyons cette formule en considérant un pentagone régulier avec une longueur de côté 𝑥. Avant de commencer cette preuve, il convient de noter que cette preuve est généralisée à tout polygone régulier à 𝑛 côtés. Cependant, nous allons juste considérer un pentagone dans ce cas. Pour trouver l’aire de ce pentagone, nous allons diviser le pentagone en cinq triangles. Nous allons le faire en reliant chacun des sommets de ce pentagone au centre du pentagone. A ce stade, il existe de nombreuses façons différentes de montrer que ces cinq triangles sont congruents.
L’une d’elle consiste à noter que chaque droite du sommet au centre du pentagone est une bissectrice de l’angle intérieur du pentagone. Par conséquent, tous ces angles sont égaux. Bien sûr, nous savons que nous avons un pentagone régulier. Ainsi, tous les côtés du pentagone sont de longueur 𝑥. Puis, en utilisant le critère angle-côté-angle, nous pouvons montrer que ces cinq triangles sont congruents. En particulier, nous pouvons également montrer que ces cinq triangles sont isocèles car ils ont deux angles égaux. Puisque ces cinq triangles constituent le pentagone et qu’ils sont tous congruents, l’aire du pentagone est cinq fois l’aire de l’un de ces triangles.
Nous pouvons rappeler que l’aire d’un triangle est la moitié de la longueur de la base multipliée par sa hauteur perpendiculaire. En utilisant l’une des longueurs latérales 𝑥 comme base de ce triangle, l’aire de l’un de ces triangles est un demi 𝑥 multiplié par ℎ. Pour trouver la valeur de ℎ, nous allons devoir trouver l’angle au centre de ce pentagone. Nous savons que chacun des cinq triangles est congruent, de sorte que les cinq angles au centre de ce pentagone sont égaux. Puisque ces cinq angles s’additionnent pour donner une révolution complète, la somme de leurs mesures est de deux 𝜋. Cela signifie qu’ils doivent chacun avoir une mesure de deux 𝜋 sur cinq.
Nous pouvons maintenant utiliser ceci pour déterminer l’un des angles du triangle rectangle impliquant ℎ. Nous devons utiliser le fait que la hauteur d’un triangle isocèle coupe l’angle en deux parts égales. Par conséquent, la mesure de cet angle est de deux 𝜋 sur cinq divisé par deux, ce qui donne 𝜋 sur cinq. Nous pouvons tracer le triangle rectangle comme indiqué. Rappelez-vous, nous voulons utiliser tout cela pour déterminer une expression pour ℎ. Nous avons maintenant un triangle rectangle dont nous connaissons l’un des angles et l’une des longueurs. Nous voulons déterminer une autre longueur de côté. Nous pouvons le faire en utilisant la trigonométrie.
Pour appliquer la trigonométrie du triangle rectangle, nous devons d’abord nommer les côtés de ce triangle rectangle par rapport à l’angle de 𝜋 sur cinq. Nous allons commencer par nommer le côté opposé à l’angle de 𝜋 par cinq. Ce côté est de longueur 𝑥 sur deux. Ensuite, le côté opposé à l’angle droit est le côté le plus long de ce triangle rectangle. Cela signifie qu’il s’agit de l’hypoténuse. Enfin, le côté restant, adjacent à l’angle de 𝜋 sur cinq, est le côté adjacent. Par conséquent, nous voulons le rapport trigonométrique impliquant le côté opposé et le côté adjacent dans un triangle rectangle. Il s’agit de la fonction tangente.
Maintenant, en rappelant que la tangente de 𝜃 est égale à la longueur du côté opposé divisé par la longueur du côté adjacent dans un triangle rectangle, nous pouvons substituer 𝜃 est égal à 𝜋 sur cinq. La longueur du côté opposé est 𝑥 sur deux et la longueur du côté adjacent est égale à ℎ. Nous obtenons que la tangente de 𝜋 sur cinq est égale à 𝑥 sur deux divisé par ℎ.
Nous voulons maintenant réorganiser cela pour trouver une expression pour ℎ. Nous multiplions les deux côtés de l’équation par ℎ et nous divisons les deux côtés de l’équation par tangente de 𝜋 par cinq. Cela nous donne que ℎ est égal à 𝑥 divisé par deux fois la tangente de 𝜋 par cinq.
Maintenant, nous pouvons substituer cette expression de ℎ dans notre formule pour l’aire. Cependant, il est plus rapide de multiplier cette aire par cinq car, rappelez-vous, cinq fois cette aire donne l’aire du pentagone régulier. Ainsi, en multipliant cette équation par cinq et en substituant l’expression de ℎ, nous obtenons l’aire d’un pentagone régulier égale cinq sur deux fois 𝑥 multiplié par 𝑥 divisé par deux tangente de 𝜋 par cinq. Cela nous donne cinq 𝑥 au carré divisé par quatre tangente de 𝜋 par cinq. Nous pouvons voir qu’il s’agit exactement de l’expression de l’option (B), où 𝑛 est égal à cinq.
Il convient de souligner que cette preuve peut être généralisée à n’importe quel polygone à 𝑛 côtés. Les seules différences auraient été que nous aurions eu 𝑛 triangles congruents, et notre angle interne aurait été de deux 𝜋 sur 𝑛. Ensuite, lorsque nous avons trouvé nos triangles rectangles, l’angle que nous connaissons aurait été 𝜋 divisé par 𝑛. Ensuite, lorsque nous avons trouvé notre expression pour ℎ, nous aurions trouvé que ℎ est égal à 𝑥 divisé par deux fois la tangente de 𝜋 sur 𝑛. Enfin, lorsque nous avons trouvé l’aire de notre polygone régulier à 𝑛 côtés, nous aurions dû multiplier l’expression par 𝑛. En appliquant toutes ces modifications à notre preuve, nous aurions montré que la formule utilisée pour calculer l’aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés de longueur latérale 𝑥 est 𝑛𝑥 au carré divisé par quatre tangente de 𝜋 par 𝑛, ce qui donne l’option (B).
