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Vidéo de question : Calcul de la somme de certains termes d’une suite géométrique finie Mathématiques

Soit une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 5. Calculez la somme des 6 premiers termes.

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Transcription de vidéo

Une suite géométrique a pour premier terme trois et pour raison cinq. Trouvez la somme des six premiers termes.

Eh bien, une suite géométrique est une suite ayant un rapport constant entre deux termes consécutifs et qu’on appelle la raison de la suite. Et nous avons une expression générale du terme d’une suite géométrique. Elle affirme que 𝑎 indice 𝑛 est égal à 𝑎 multiplié par 𝑟 puissance 𝑛 moins un, où 𝑛 est le nombre de termes, 𝑎 est le premier terme et 𝑟 est la raison. Très bien, nous savons maintenant ce qu’est une suite géométrique et nous connaissons notre expression générale. Voyons ce que la question demande de trouver.

Eh bien, la question veut que nous trouvions la somme des six premiers termes. Et il y a en fait, plusieurs façons de le faire. Et la première méthode que nous allons utiliser est d’appliquer une formule. Et cette formule nous dit que la somme des 𝑛 premiers termes est égale à 𝑎 multiplié par un moins 𝑟 puissance 𝑛 sur un moins 𝑟. Eh bien, dans notre problème, notre 𝑎 va être égal à trois parce que notre premier terme est trois. Notre 𝑟 va être égal à cinq. Et c’est parce que la raison est cinq. Et notre 𝑛 va être égal à six parce que nous nous intéressons aux six premiers termes.

Par conséquent, si nous remplaçons par ces valeurs, ce que nous allons obtenir, c’est que la somme des six premiers termes est égale à trois multipliée par un moins cinq puissance six sur un moins cinq. Ce qui va être égal à trois multiplié par moins 15624 sur moins quatre, ce qui va être égal à 11718. Nous pouvons donc dire que la somme des six premiers termes est égale à 11718. Très bien, nous avons trouvé ce résultat en utilisant la formule. Et c’était notre première méthode. Mais j’ai dit qu’il y aurait une autre méthode que nous pourrions utiliser.

Eh bien, l’autre méthode consiste à déterminer les six premiers termes puis à les sommer. Eh bien, nous savons que le premier terme 𝑎 ou 𝑎 indice un est égal à trois. Donc, si nous utilisons ensuite l’expression générale, nous trouvons que notre deuxième terme soit 𝑎 deux est égal à quinze. Parce que nous avons 𝑎 qui est notre premier terme, multiplié par cinq qui est la raison, à la puissance deux moins un. Et on a deux parce que nous regardons le deuxième terme, c’est donc deux auquel on soustrait un.

Cela signifie donc que nous allons calculer trois multiplié par cinq. C’est parce que deux moins un est égal à un. Et comme cinq à la puissance un est tout simplement égal à cinq, nous allons donc obtenir 15. C’est donc notre deuxième terme. Maintenant, nous pouvons passer au troisième terme. Eh bien, le troisième va être égal à trois multiplié par cinq puissance trois moins un, ce qui va être égal à trois multiplié par cinq au carré. Et comme cinq au carré est égal à 25, nous obtenons alors trois multiplié par 25 qui sera 75.

Ensuite, nous calculons trois multiplié par cinq à la puissance quatre moins un qui est notre quatrième terme soit trois multiplié par cinq au cube. Eh bien, cinq au cube est 125 et trois multiplié par 125 est égal à 375. Ensuite, les deux termes suivants sont 1875, qui est trois multiplié par cinq puissance quatre et 9375, qui est trois multiplié par cinq puissance cinq. Donc, tout ce que nous avons à faire maintenant est de les additionner ensemble.

Donc, ce que nous avons est trois plus cinq soit huit, plus cinq soit 13, plus cinq soit 18, plus un autre cinq soit 23, plus un autre cinq soit 28. Donc, ça fait huit et on retient deux. Ensuite, nous avons un plus sept soit huit. Ajoutez sept vous donne 15. Ajoutez un autre sept vous donne 22. Ajoutez un autre sept vous donne 29. Ajoutez le deux vous donne 31. On a donc un dans la colonne des dizaines et on retient trois. Ensuite, trois plus huit donne 11. Ajoutez un autre trois vous donne 14. Ajoutez le trois que nous avions vous donne 17. Donc, nous avons sept et on retient un. Ensuite, un plus neuf vaut 10 puis ajoutez un. Ce qui signifie que nous obtenons un résultat final de 11718 qui est le même que celui obtenu avec la première méthode. Nous avons donc trouvé que la somme des six premiers termes est 11718.

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