Vidéo : Utiliser le théorème de la bissectrice pour déterminer un terme inconnu

Sur la figure donnée, 𝐴𝐵 = 35, 𝐴𝐶 = 30 et 𝐶𝐷 = 12. Si 𝐵𝐷 = 𝑥 + 10, quelle est la valeur de 𝑥 ?

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Transcription de vidéo

Sur la figure donnée, 𝐴𝐵 est égal à 35, 𝐴𝐶 est égal à 30 et 𝐶𝐷 est égal à 12. Si 𝐵𝐷 est égale à 𝑥 plus 10, quelle est la valeur de 𝑥 ?

Nous avons une figure d’un triangle et les longueurs de différents segments dans ce triangle. Ajoutons d’abord ces informationsà la figure. La question nous a demandé de trouver la valeur de 𝑥, qui fait partie de l’expression de 𝐵𝐷. Voyons comment aborder ce problème.

La droite 𝐴𝐷 est une bissectrice de l’angle 𝐶𝐴𝐵. Nous pouvons le voir car les deux parties de l’angle ont été chacunes marquées d’un seul arc bleu, indiquant qu’elles sont égales. Par conséquent, nous devons aborder ce problème en utilisant des propriétés sur les bissectrices. La bissectrice divise le côté opposé du triangle 𝐶𝐵 en deux parties, 𝐶𝐷 et 𝐷𝐵.

Le rapport entre les longueurs de ces deux parties est le même que le rapport entre les longueurs des deux autres côtés du triangle. Ou, en d’autres termes, pour ce triangle, le rapport que nous obtenons lorsque nous divisons 𝐵𝐷 par 𝐶𝐷 est le même que le rapport que nous obtenons lorsque nous divisons 𝐴𝐵 par 𝐴𝐶. Dans chaque cas, il s’agit du côté rose divisé par le côté vert.

Nous pouvons substituer les valeurs ou, dans le cas de 𝐵𝐷, l’expression de chacun de ces côtés pour donner une équation que nous pouvons résoudre pour trouver la valeur de 𝑥. 𝐵𝐷 sur 𝐶𝐷 devient 𝑥 plus 10 sur 12. 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐶 devient 35 sur 30. Cette fraction peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par cinq pour donner une fraction simplifiée de sept sur six.

Voyons maintenant comment résoudre cette équation. Nous avons un 12 au dénominateur d’une fraction et un six au dénominateur de l’autre. En multipliant les deux côtés de l’équation par 12, nous éliminerons ces deux dénominateurs. Les 12 qui apparaissent maintenant au numérateur à droite s’éliminent avec les six au dénominateur pour donner un facteur global de deux.

Donc nous sommes avec 𝑥 plus 10 est égal à sept multiplié par deux, ce qui donne 14. La dernière étape pour résoudre cette équation est que nous devons soustraire 10 des deux côtés. Cela donne 𝑥 est égal à quatre. Nous avons donc trouvé la valeur de 𝑥. N’oublie pas que la propriété essentielle que nous avons utilisée dans cette question est qu’une bissectrice divise le côté opposé d’un triangle dans le même rapport que le rapport existant entre les deux autres côtés du triangle.

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