Vidéo : Volumes par tranche

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser l’intégration pour trouver le volume d’un solide avec une section transversale variable.

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Dans cette leçon, nous allons apprendre à utiliser l’intégration pour trouver le volume d’un solide à section variable. Nous utiliserons ce qu’on appelle une méthode de découpage et commencerons par nous rappeler certaines des idées que nous devrons utiliser. Nous discuterons ensuite comment et dans quelles circonstances la méthode est utilisée. Et puis, nous allons voir quelques exemples.

Nous savons que l’aire est une mesure de l’espace couvert par une figure ou une région bidimensionnelle. Par exemple, pour un rectangle avec des longueurs latérales 𝑎 et 𝑏, l’aire est 𝑎 fois 𝑏. Pour un cercle de rayon 𝑟, l’aire est 𝜋𝑟 au carré. Et pour un trapèze avec des longueurs latérales 𝑎 et 𝑏 et une hauteur ℎ, l’aire est ℎ plus deux fois 𝑎 plus 𝑏. Et rappelez-vous que la surface est mesurée en unités au carré.

Le volume est une mesure que nous utilisons pour la quantité d’espace tridimensionnel occupée par un solide. Par exemple, pour un pavé droit avec les côtés 𝑎, 𝑏 et ℎ, le volume est 𝑎 fois 𝑏 fois ℎ. Pour une sphère de rayon 𝑟, le volume est de quatre sur trois 𝜋 𝑟 au cube. Et pour un cylindre circulaire de rayon 𝑟 et de hauteur ℎ, le volume est 𝜋 𝑟 carré fois ℎ. Et rappelez-vous que le volume est mesuré en unités au cube.

Nous savons aussi que si nous avons deux courbes 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, et que nous voulons trouver l’aire entre les deux courbes pour les valeurs de 𝑥 entre 𝑎 et 𝑏, alors l’aire est l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous allons étendre cette idée et utiliser des intégrales définies pour trouver des volumes de solides en trois dimensions.

Nous le faisons en découpant le solide en un nombre infini de sections efficaces, en utilisant l’intégration pour additionner les aires des sections transversales ou des tranches. Ainsi, pour le volume d’une figure tridimensionnelle, le volume est égal à une intégrale définie de l’aire des sections efficaces par rapport à 𝑥. Avant de commencer l’intégration, examinons de plus près comment cela pourrait fonctionner géométriquement.

Ici, nous avons un cylindre avec des extrémités semi-circulaires qui sont parallèles entre elles et perpendiculaires aux côtés. Les côtés sont de longueur ℎ. Si nous prenons une coupe transversale de n’importe où le long de ℎ, l’aire de chaque coupe transversale est la même. Le volume est égal à la section transversale multipliée par la longueur ℎ. Cela fonctionne bien si l’aire de la section transversale est constante, nous avons donc une formule pour l’aire. Mais si l’aire des sections efficaces de notre solide n’est pas constante, nous pouvons utiliser la méthode de découpage et une intégrale définie pour calculer le volume. Voyons comment cela fonctionne.

Supposons que nous ayons un cercle défini par 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à 𝑟 au carré avec le centre à l’origine. Le cercle doit être la base de notre solide. Supposons maintenant que les sections transversales sont des triangles équilatéraux avec un accord de bord à travers le cercle. Les sections transversales sont perpendiculaires à l’axe des 𝑥. Pour trouver le volume du solide généré par ces triangles, où la base est le cercle, on laisse 𝑎 de 𝑥 être l’aire du triangle traversant l’axe 𝑥 au point 𝑥. Ainsi, la valeur de 𝑥 change, de même l’aire du triangle.

Si nous divisons notre solide en dalles transversales, où chaque gifle a une largeur de Δ𝑥, si nous étiquetons notre dalle 𝑆 𝑖, alors le volume de cette dalle est approximativement égal à l’aire de la section transversale à 𝑥 est égal à 𝑥 𝑖 étoiles fois Δ𝑥. Où 𝑥 𝑖 étoile est un point d’échantillon entre 𝑥 𝑖 moins un et 𝑥 𝑖. Une estimation du volume total d’un solide est donc la somme des volumes de ces 𝑛 dalles transversales. Ceci n’est qu’une estimation, bien sûr. Et à mesure que le nombre de dalles transversales 𝑛 augmente et que Δ𝑥 diminue, les tranches s’amincissent de plus en plus.

Nous définissons donc le volume de l’ensemble du solide comme la limite de cette somme car 𝑛 tend vers l’infini. Et nous reconnaissons cela comme la limite de la somme de Riemann, qui est une intégrale définie. Nous pouvons maintenant définir le volume d’un solide 𝑆 entre 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal 𝑏 avec une aire de section transversale 𝐴 de 𝑥 perpendiculaire à l’axe des 𝑥 où 𝐴 est continue comme l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Il est important de se rappeler qu’il s’agit du volume d’un solide où la section transversale est perpendiculaire à l’axe des 𝑥. Si les sections transversales étaient perpendiculaires à l’axe des 𝑦, nos limites changeraient en valeurs 𝑦, et nos aires seraient nos fonctions de 𝑦 de sorte que l’intégrale elle-même serait par rapport à 𝑦. Avant de commencer un exemple, notons notre stratégie.

Lors de la recherche de volumes de solides par découpage, la première chose à faire est de déterminer la base du solide. Nous déterminons ensuite la forme des coupes transversales et essayons d’esquisser une image de ce que nous avons. Nous devons ensuite trouver une formule pour l’aire de la section transversale. Et rappelez-vous, si la section transversale est perpendiculaire à l’axe des 𝑥, alors l’aire sera fonction de 𝑥. Si la section transversale est perpendiculaire à l’axe des 𝑦, alors l’aire sera fonction de 𝑦. De même, si la section transversale est perpendiculaire à l’axe 𝑧, alors l’aire sera fonction de 𝑧. Ensuite, pour le volume du solide, nous intégrons l’aire de la section transversale sur un intervalle approprié. L’intervalle d’intégration sera défini par la base du solide. Maintenant, regardons un exemple.

Utilisez la méthode de découpage pour trouver le volume du solide dont la base est la région à l’intérieur du cercle 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à deux centrés à l’origine, si les sections transversales sont des triangles équilatéraux perpendiculaires à l’axe des 𝑥.

On nous demande de trouver le volume d’un solide dont la base est la région à l’intérieur du cercle 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à deux centré à l’origine où les sections transversales sont des triangles équilatéraux perpendiculaires à l’axe des 𝑥. Esquissons d’abord notre base et nos coupes transversales. Notre base est le cercle 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à deux. Cela signifie que le rayon 𝑟 au carré est égal à deux, ce qui signifie que le rayon 𝑟 est égal à plus ou moins la racine carrée de deux.

Nos coupes transversales sont des triangles équilatéraux perpendiculaires à l’axe des 𝑥. Le sommet de notre solide sera tracé par les sommets de ces triangles. N’oubliez pas, nous voulons calculer le volume du solide. Et cela est égal à l’intégrale définie des aires des sections transversales entre les limites définies par les limites de la base. Notre première tâche consiste alors à calculer l’aire des triangles.

N’oubliez pas que l’aire d’un triangle est la moitié de la base multipliée par la hauteur. Dans notre cas, la base est deux 𝑦 car elle est divisée en deux par l’axe des 𝑥. Et comme il s’agit d’un triangle équilatéral, chaque côté a une longueur de deux 𝑦. Maintenant, rappelez-vous que parce que les sections transversales sont perpendiculaires à l’axe des 𝑥, nous devons trouver l’aire en fonction de 𝑥. Pour ce faire, nous allons d’abord trouver la hauteur ℎ en fonction de 𝑦. Et en utilisant l’équation de notre base, nous pouvons trouver l’aire en fonction de 𝑥.

Pour trouver la hauteur ℎ, utilisons le théorème de Pythagore. Cela dit, pour un triangle à angle droit avec les côtés 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré. Dans notre cas, cela signifie que ℎ au carré plus 𝑦 au carré est égal à deux 𝑦 au carré. Cela équivaut à quatre 𝑦 au carré. Donc, ℎ au carré est quatre 𝑦 au carré moins 𝑦 au carré, ce qui fait trois 𝑦 au carré, ce qui nous donne que ℎ, puisque c’est une longueur, est la racine carrée positive de trois fois 𝑦.

Maintenant, en utilisant notre formule pour l’aire d’un triangle, nous avons l’aire de notre triangle en coupe transversale est égale à la moitié de deux fois 𝑦 fois la racine carrée de trois fois 𝑦. L’annulation de nos deux, ce qui nous donne l’aire est égale à la racine carrée de trois fois 𝑦 au carré. Maintenant, à partir de l’équation de notre cercle, nous avons 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à deux. Cela signifie que 𝑦 au carré est deux moins 𝑥 au carré. Donc, si nous substituons cela à notre aire, nous obtenons des aires de fonction de 𝑥 de sorte que notre aire soit la racine carrée de trois fois deux moins 𝑥 au carré.

N’oubliez pas que le volume est l’intégrale de l’aire où les limites sont définies par les limites de notre base. Dans notre cas, les limites sont donc moins la racine deux à la racine deux. Donc, notre volume est l’intégrale entre moins la racine deux et la racine deux de la racine carrée de trois fois deux moins 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Comme la racine trois est une constante, nous pouvons prendre cela à l’extérieur. Ainsi, notre intégrale devient racine trois fois l’intégrale entre moins racine deux et racine deux sur deux moins 𝑥 au carré par rapport à 𝑥.

Nous pouvons également utiliser la symétrie du cercle pour rendre cela un peu plus facile. Par la symétrie du cercle, nous pouvons changer la limite inférieure à zéro et multiplier l’intégrale par deux. Donc, nous avons maintenant le volume égal à deux fois la racine carrée de trois fois l’intégrale entre zéro et la racine carrée de deux fois deux moins 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. L’intégrale de deux par rapport à 𝑥 est deux 𝑥 évaluée entre zéro et la racine carrée de deux. Et l’intégrale de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est un sur trois 𝑥 au cube évalué entre les limites zéro et racine deux.

Notre volume est donc deux fois la racine carrée de trois fois deux 𝑥 moins 𝑥 au cube sur trois évalués entre zéro et la racine deux. Cela nous donne deux fois la racine carrée de trois fois deux racine deux moins racine deux au cube sur trois moins zéro moins zéro. En évaluant cela, nous obtenons huit fois la racine carrée de six sur trois.

Le volume du solide dont la base est la région à l’intérieur du cercle 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est de deux centré à l’origine où les sections transversales sont des triangles équilatéraux perpendiculaires à l’axe des 𝑥 est huit fois la racine six sur trois unités au cube. Nous avons trouvé ce volume en trouvant les aires des triangles transversaux en fonction de 𝑥. Nous avons ensuite intégré cette aire sur un intervalle défini par la base.

Essayons cela sur un autre exemple.

Utilisez la méthode de découpage pour trouver le volume du solide dont la base est la région sous la parabole 𝑦 est égal à quatre moins 𝑥 au carré dans le premier quadrant et dont les coupes transversales sont des carrés perpendiculaires à l’axe des 𝑥 avec une face dans le plan 𝑥𝑦.

Nous voulons trouver le volume d’un solide dont la base est la région sous la parabole 𝑦 est égal à quatre moins 𝑥 au carré. Nous regardons dans le premier quadrant. Et où le solide a des coupes transversales qui sont des carrés perpendiculaires à l’axe des 𝑥 avec un bord dans le plan 𝑥𝑦. La première chose que nous pouvons faire est de dessiner notre parabole 𝑦 est égal à quatre moins 𝑥 au carré. Et 𝑦 est égal à zéro, notre équation, nous donne 𝑥 au carré est égal à quatre. Donc, notre parabole traverse l’axe des 𝑥 à 𝑥 est égal à deux et moins deux. Lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à quatre. Donc, notre parabole coupe l’axe des 𝑦 en 𝑦 est égal à quatre.

La base de notre solide est la région sous la parabole du premier quadrant. Les sections transversales de notre solide sont des carrés qui sont perpendiculaires à l’axe des 𝑥 avec un bord dans le plan 𝑥𝑦. Pour trouver notre volume, nous intégrons les aires de la section transversale où les limites d’intégration sont définies par notre parabole, la limite inférieure est nulle et la limite supérieure est deux.

Nous savons que l’aire d’un carré de longueur de côté 𝑎 est égale à 𝑎 au carré. Dans notre cas, la longueur des côtés de chaque carré est 𝑦. Et la valeur de 𝑦 dépend de l’endroit où le carré rencontre l’axe des 𝑥. L’aire de chaque carré est donc 𝑦 au carré. Et puisque 𝑦 est égal à quatre moins 𝑥 au carré, nous avons l’aire de la section transversale égale à quatre moins 𝑥 au carré tout au carré. On a donc l’aire de la section en fonction de 𝑥. Notre volume est donc l’intégrale entre zéro et deux des quatre moins 𝑥 au carré le tout au carré par rapport à 𝑥.

Pour rendre l’intégrale un peu plus facile, nous pouvons étendre le support. Cela nous donne l’intégrale entre zéro et deux de 16 moins huit 𝑥 au carré plus 𝑥 à la puissance quatre par rapport à 𝑥. L’intégrale de 16 par rapport à 𝑥 entre zéro et deux est 16 𝑥 entre zéro et deux. L’intégrale de moins huit 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est moins huit fois 𝑥 à la puissance trois divisée par trois entre zéro et deux. Et l’intégrale de 𝑥 à la puissance quatre est 𝑥 de cinq divisé par cinq évalué entre zéro et deux.

Pour évaluer cela, nous avons 16 fois deux moins huit fois huit sur trois plus deux à cinq sur cinq moins zéro. L’évaluation de cela nous donne 256 divisé par 15. Le volume du solide dont la base est la région sous la parabole 𝑦 est égal à quatre moins 𝑥 au carré dans le premier quadrant où les coupes transversales sont des carrés perpendiculaires à l’axe des 𝑥 avec un bord dans le plan 𝑥𝑦 est égal à 256 divisé par 15 unités au cube.

Dans cet exemple, nos tranches étaient des carrés perpendiculaires à l’axe des 𝑥 avec un bord dans le plan 𝑥𝑦. Regardons un autre exemple où, dans ce cas, les sections transversales sont perpendiculaires à l’axe des 𝑦.

Utilisez la méthode de découpage pour trouver le volume du solide dont la base est la région sous la parabole 𝑦 est égal à neuf moins 𝑥 au carré et au-dessus de l’axe des 𝑥 et où les tranches perpendiculaires à l’axe des 𝑦 sont des carrés.

On nous demande de trouver le volume d’un solide dont la base est définie par la parabole 𝑦 est égal à neuf moins 𝑥 au carré et au-dessus de l’axe des 𝑥. Les tranches du solide sont perpendiculaires à l’axe des 𝑦 et sont des carrés. Dessinons d’abord la région de base de notre solide. Notre parabole est 𝑦 est égal à neuf moins 𝑥 au carré de sorte que lorsque 𝑦 est égal à zéro, 𝑥 au carré est égal à neuf de sorte que 𝑥 est égal à plus ou moins trois. Lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à neuf. Et c’est là que notre fonction croise l’axe des 𝑦.

La région sous cette courbe et au-dessus de l’axe des 𝑥 forme la base de notre solide. Nos coupes transversales sont des carrés. Et ceux-ci sont perpendiculaires à l’axe des 𝑦. La longueur des côtés de chaque carré est de deux 𝑥. Et la valeur de 𝑥 dépend de l’endroit où le carré traverse l’axe des 𝑦. L’aire d’un deux est donc un carré en coupe transversale, 𝑥 fois deux 𝑥, ce qui est quatre 𝑥 carré. Le volume de notre solide, cependant, est une intégrale le long de l’axe des 𝑦 entre 𝑦 est zéro et neuf de l’aire des carrés transversaux en fonction de 𝑦. Donc, nous devons convertir notre aire en fonction de 𝑦.

Nous savons que 𝑦 est égal à neuf moins 𝑥 au carré, ce qui nous donne 𝑥 au carré égal à neuf moins 𝑦. Notre aire en fonction de 𝑥 est de quatre 𝑥 au carré de sorte que quatre 𝑥 au carré soit égal à neuf moins 𝑦 fois quatre. En d’autres termes, quatre 𝑥 au carré est égal à quatre fois neuf moins 𝑦 de sorte que notre aire, en fait, est quatre fois neuf moins 𝑦. Et nous pouvons maintenant calculer notre volume, qui est l’intégrale entre zéro et neuf de quatre fois neuf moins 𝑦 par rapport à 𝑦.

Nous pouvons prendre les quatre à l’extérieur car il s’agit d’un multiple constant. Nous savons que l’intégrale de neuf par rapport à 𝑦 est neuf fois 𝑦. Et nous savons que l’intégrale de moins 𝑦 par rapport à 𝑦 est moins 𝑦 au carré sur deux. Donc, alors, notre volume est quatre fois neuf 𝑦 moins 𝑦 au carré sur deux évalués entre zéro et neuf. C’est quatre fois neuf fois neuf moins neuf au carré sur deux moins zéro. Cela nous donne quatre fois 81 moins 40.5, ce qui est 162. Le volume du solide dont la base est la région sous la parabole est de neuf moins 𝑥 au carré et au-dessus de l’axe des 𝑥 où les tranches sont perpendiculaires à l’axe des 𝑦 et sont des carrés est donc de 162 unités au cube.

Maintenant, rappelons-nous les points clés pour trouver le volume d’un solide par la méthode du découpage. La première chose que nous devons faire est de déterminer la base de notre solide. Nous déterminons ensuite la forme de la section transversale du solide, puis esquissons la section transversale et la base. Nous trouvons alors une formule pour l’aire de notre coupe transversale. Si la section est perpendiculaire à l’axe des 𝑥, ce sera une fonction de 𝑥. Si la section est perpendiculaire à l’axe des 𝑦, l’aire sera fonction de 𝑦. Et si la section transversale est perpendiculaire à l’axe 𝑧, alors l’aire sera fonction de 𝑧.

Pour trouver notre volume, nous intégrons ensuite l’aire de la section transversale sur un intervalle défini par la région de base. Si nos sections transversales sont perpendiculaires à l’axe des 𝑥, alors notre volume est égal à l’intégrale entre 𝑥 est 𝑎 et 𝑥 est 𝑏 de l’aire, qui est une fonction de 𝑥 par rapport à 𝑥. Si les sections transversales sont perpendiculaires à l’axe des 𝑦, alors nos limites changent en valeurs 𝑦, notre aire est fonction de 𝑦, et nous intégrons par rapport à 𝑦. Si nos sections efficaces sont perpendiculaires à l’axe 𝑧, alors nos limites deviennent des valeurs 𝑧, notre aire de fonction est une fonction de 𝑧, et nous intégrons par rapport à 𝑧. Ainsi, la clé pour trouver le volume est de déterminer la base du solide, la forme de la section transversale et l’emplacement de cette section transversale par rapport aux axes.

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