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Vidéo de la leçon : Applications de la Deuxième Loi de Newton : Deux Masses Suspendues à une Poulie Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur le mouvement d’un système de deux corps suspendus verticalement par une corde qui passe sur une poulie lisse.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur le mouvement d’un système de deux corps suspendus verticalement par une corde qui passe sur une poulie lisse. Nous allons résoudre ces problèmes en utilisant la deuxième loi de Newton sur le mouvement, en calculant les forces résultantes et en utilisant les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA).

La deuxième loi de Newton stipule que la force résultante actionnant sur un objet est égale à sa masse multipliée par son accélération. Cela s’écrit 𝐹 est égal à 𝑚𝑎. Dans cette vidéo, nous allons mesurer la masse en kilogrammes ou en grammes. L’accélération des objets sera mesurée en mètres par seconde carrée ou en centimètres par seconde carrée. Pour convertir entre ces unités, rappelons qu’il y a 1000 grammes dans un kilogramme. Il y a 100 centimètres dans un mètre. Par conséquent, 100 centimètres par seconde carrée est égal à un mètre par seconde carrée. Les forces qui agissent sur l’objet seront mesurées en newtons ou en dynes. Lorsque la masse est en kilogrammes et l’accélération en mètres par seconde carrée, la force est en newtons. De même, si on multiplie une masse en grammes par une accélération en centimètres par seconde carrée on obtient une force en dynes.

Nous allons maintenant examiner comment utiliser la deuxième loi de Newton pour résoudre des problèmes impliquant un système de corps et une poulie lisse. Dans le système modélisé sur la figure, nous avons une corde inextensible et légère qui passe sur une poulie lisse. Il y a, attaché à chaque extrémité de la corde, un objet de masse petit 𝑚 et grand 𝑀 kilogrammes, respectivement. Ceux-ci auront chacun des forces agissant dans la direction descendante égales à la masse multipliée par la gravité. Puisque la corde n’a pas de masse et que la poulie n’a pas de friction, il y aura des tensions égales agissant vers le haut à partir des masses. Lorsque le système est relâché, le corps le plus lourd accélère vers le bas et le corps le plus léger accélère vers le haut. Puisque la corde est inextensible, ces accélérations auront la même intensité.

On peut maintenant utiliser la deuxième loi de Newton. La force résultante sera égale à la masse multipliée par l’accélération. Le corps de gauche se déplace vers le haut. Si on suppose que cette direction est positive pour ce corps, la somme des forces est égale à 𝑇 moins 𝑚𝑔. Qui est égale à la masse multipliée par l’accélération. On obtient l’équation 𝑇 moins 𝑚𝑔 est égal à 𝑚𝑎. On peut répéter ce processus pour le deuxième corps. Ce corps accélère vers le bas, qu’on peut considérer comme la direction positive. La somme des forces est égale à grand 𝑀𝑔 moins 𝑇. Ceci est égal à grand 𝑀, la masse du corps, multipliée par l’accélération 𝑎. Nous avons maintenant une paire d’équations simultanées.

Dans les questions suivantes, nous allons les résoudre pour calculer des inconnues. Dans la première question, on doit calculer l’accélération.

Deux corps de masses de 12 kilogrammes et 18 kilogrammes sont attachés aux extrémités d’une corde inextensible et légère qui passe sur une poulie lisse. Déterminez l’accélération du système. Supposez que 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde carrée.

Commençons par esquisser le système comme indiqué. Les deux corps sont de masses 12 kilogrammes et 18 kilogrammes, respectivement. Cela signifie qu’ils auront une force descendante de 12𝑔 et 18𝑔, où l’accélération gravitationnelle est de 9,8 mètres par seconde carrée. Puisqu’on a une corde légère qui passe sur une poulie lisse, les tensions verticales sont égales. Une fois le système relâché, le corps de 18 kilogrammes accélérera vers le bas et le corps de 12 kilogrammes accélérera vers le haut. Puisque la corde est inextensible, l’intensité de ces accélérations sera égale.

On peut maintenant utiliser la deuxième loi de Newton, 𝐹 est égal à 𝑚𝑎, pour créer deux équations simultanées. Le corps A accélère verticalement vers le haut. Par conséquent, la somme de ses forces est 𝑇 moins 12𝑔. On considère la direction positive comme étant verticalement vers le haut. Ceci est égal à 12𝑎, la masse multipliée par l’accélération. Puisque le corps B accélère vers le bas, on considère cela comme la direction positive. Cela signifie que la somme des forces est égale à 18𝑔 moins 𝑇. Cela est égal à 18𝑎.

Nous avons maintenant deux équations simultanées, et nous pouvons éliminer 𝑇 afin de calculer l’accélération 𝑎 en additionnant l’équation un et l’équation deux. Moins 12𝑔 plus 18𝑔 est égal à six 𝑔, et 12𝑎 plus 18𝑎 est égal à 30𝑎. On peut diviser les deux côtés de cette équation par 30 de sorte que 𝑎 soit égal à six 𝑔 divisé par 30. Sachant que 𝑔 est égal à 9,8, on peut évaluer cela avec une calculatrice, ce qui donne une réponse de 1,96. L’accélération du système est égale à 1,96 mètres par seconde carrée. On pourrait substituer cette valeur dans l’équation un ou l’équation deux pour calculer la tension, mais cela n’est pas requis dans cette question.

Dans la question suivante, on doit calculer la masse de l’un des corps.

Deux masses 𝑚 et 88 grammes sont attachées aux extrémités d’une corde légère qui passe sur une poulie lisse. Déterminez la valeur de 𝑚, sachant que lorsque le système est relâché, l’autre masse descend de 11,76 mètres en deux secondes. Supposez que l’accélération de la pesanteur 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

Commençons par modéliser le système comme indiqué. On sait que les masses sont égales à 𝑚 et 88 grammes. Rappelons qu’il y a 1000 grammes dans un kilogramme, et puisque l’accélération gravitationnelle est en mètres par seconde carrée, il faut que la masse soit en kilogrammes. 88 grammes est égal à 0,088 kilogrammes. Cela signifie que les forces vers le bas des deux corps sont 𝑚𝑔 et 0,088𝑔. On a une corde légère et une poulie lisse, ce qui signifie que les tensions verticales seront égales. Tout le système se déplacera avec la même accélération, et on sait que le corps de 88 grammes descend. Cela signifie que le corps de masse 𝑚 va accélérer vers le haut.

On peut maintenant utiliser la deuxième loi de Newton, 𝐹 est égal à 𝑚𝑎, pour créer des équations pour le corps A et le corps B. Le corps A accélère verticalement vers le haut. Par conséquent, la somme de ses forces est égale à 𝑇 moins 𝑚𝑔. Ceci est égal à 𝑚𝑎. Le corps B accélère vers le bas. Par conséquent, la somme de ses forces est de 0,088𝑔 moins 𝑇. On suppose que la direction descendante est positive. Ceci est égale à la masse multipliée par l’accélération. À ce stade, nous avons trois inconnues : la tension, la masse du corps A et l’accélération du système. Nous devons utiliser les informations de la question notamment que le corps de 88 grammes descend de 11,76 mètres en deux secondes.

Nous pouvons utiliser les équations d’accélération uniforme pour calculer l’accélération. Celles-ci sont souvent appelées équations MRUA, où 𝑠 est le déplacement - dans ce cas égal à 11,76 mètres. 𝑢 est le vecteur vitesse initial, 𝑣 est le vecteur vitesse final, 𝑎 est l’accélération et 𝑡 est le temps, dans cette question, deux secondes. Nous savons que 𝑠 est égal à 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. Si on substitue nos valeurs, on a 11,76 est égal à zéro multiplié par deux plus un demi multiplié par 𝑎 multiplié par deux au carré. Le côté droit devient deux 𝑎, ce qui est égal à 11,76. Si on divise des deux côtés de cette équation par deux on a 𝑎 est égal à 5,88. L’accélération du système, une fois qu’il est relâché, est de 5,88 mètres par seconde carrée.

Si on substitue cela et 𝑔 est égal à 9,8 dans notre équation du corps A on obtient 𝑇 moins 9,8𝑚 est égal à 5,88𝑚. Si on additionne 9,8𝑚 aux deux côtés de cette équation on obtient 𝑇 est égal à 15,68𝑚. Nous allons appeler cela équation un. Si on substitue la valeur de l’accélération dans l’équation du corps B on a 0,8624 moins 𝑇 est égal à 0,51744. On peut réécrire cette équation et obtenir la valeur de 𝑇 égale 0,34496. On peut maintenant substituer la tension, qui est égale à 0,34496 newtons, dans l’équation un. Cette force de tension est égale à 15,68𝑚. Si on divise les deux côtés par 15,68 on obtient 𝑚 est égal à 0,022. Il s’agit de la masse du corps en kilogrammes. En multipliant cette réponse par 1000, on la convertit en grammes, pour avoir les mêmes unités que l’autre masse. La masse 𝑚 est égale à 22 grammes.

Dans notre dernière question, nous allons calculer la force exercée sur une poulie.

Deux corps de masses 𝑚 grammes et 𝑚 plus 56 grammes sont reliés par une corde légère qui passe sur une poulie lisse et fixe. Le système est relâché du repos lorsque les deux corps sont au même niveau horizontal. Après une seconde, la distance verticale qui les sépare est de 128 centimètres. Calculez l’intensité de la force exercée sur la poulie pendant que les corps sont en mouvement. Supposez que l’accélération de la pesanteur 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

Commençons par modéliser la situation comme indiqué. Les deux corps ont des masses 𝑚 grammes et 𝑚 plus 56 grammes. Cela signifie qu’ils exercent chacun une force descendante de masse multipliée par l’accélération gravitationnelle. Nous remarquons que l’accélération gravitationnelle est en mètres par seconde carrée. Comme les masses sont en grammes et la distance en centimètres, nous devons convertir l’accélération gravitationnelle en centimètres par seconde carrée. Comme il y a 100 centimètres dans un mètre, l’accélération de la pesanteur est de 980 centimètres par seconde carrée. On a une corde légère qui passe sur une poulie lisse. Par conséquent, les tensions verticales seront égales. Lorsque le système est relâché, la valeur de l’accélération des deux corps sera égale. Le corps de masse 𝑚𝑔 accélérera vers le haut, et le corps de masse 𝑚 plus 56𝑔 accélérera vers le bas.

On sait que les corps commencent au même niveau horizontal, et après une seconde, il y a une distance de 128 centimètres entre eux. Cela signifie que chaque corps a parcouru une distance de 64 centimètres, un vers le bas et un vers le haut. On peut utiliser les équations MRUA pour calculer l’accélération. On sait que le vecteur vitesse initiale était de zéro mètre par seconde lorsque le corps était au repos, et on a affaire à un temps d’une seconde. Nous allons utiliser l’équation 𝑠 est égal à 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. Lorsqu’on substitue nos valeurs on a 64 est égal à zéro multiplié par un plus un demi multiplié par 𝑎 multiplié par un carré. Le côté droit devient un demi 𝑎. On peut alors multiplier les deux côtés de l’équation par deux, ce qui nous donne 𝑎 est égal à 128. L’accélération du système est égale à 128 centimètres par seconde carrée.

La prochaine étape sera d’utiliser la deuxième loi de Newton, la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Puisque le corps A accélère vers le haut, la somme des forces est égale à 𝑇 moins 𝑚𝑔. Ceci est égal à 𝑚𝑎. Nous pouvons substituer nos valeurs de 𝑔 et 𝑎. Si on ajoute 980𝑚 aux deux côtés de cette équation on a 𝑇 est égal à 1.108𝑚. Puisque le corps B accélère vers le bas, on considère cela comme la direction positive. Cela nous donne l’équation 𝑚 plus 56𝑔 moins 𝑇 égale 𝑚 plus 56𝑎. Si on substitue les valeurs de 𝑔 et 𝑎 et on remplace 𝑇 par 1.108𝑚 on obtient 980𝑚 plus 54.880 moins 1.108𝑚 est égal à 128𝑚 plus 7.168. Si on simplifie et rassemble les termes similaires on a 256𝑚 est égal à 47.712.

On peut ensuite diviser les deux côtés par 256, ce qui nous donne 𝑚 est égal à 186,375 grammes. Nous pouvons maintenant utiliser cette valeur pour calculer la tension 𝑇. 1.108 multiplié par 186,375 est égal à 206.503,5. Comme les masses étaient en grammes et l’accélération en centimètres par seconde carrée, la tension sera en dynes. Ce n’est pas la réponse finale, puisqu’on veut l’intensité de la force exercée sur la poulie. Ceci est égal à deux 𝑇 puisque deux forces de tension agissent sur la poulie. L’intensité de la force exercée sur la poulie est de 413.007 dynes.

Nous allons maintenant résumer brièvement les points clés de cette vidéo. Pour résoudre des problèmes sur le mouvement d’un système de deux corps suspendus verticalement par une corde, on utilise la deuxième loi de Newton, 𝐹 est égal à 𝑚𝑎, où 𝐹 est la force résultante, 𝑚 est la masse et 𝑎 est l’accélération. On utilise des équations simultanées pour calculer les inconnus. Nous avons également vu qu’il est important d’utiliser les bonnes unités, soit kilogrammes, mètres par seconde carrée et newtons, ou grammes, centimètres par seconde carrée et dynes. Nous avons également utilisé les équations du mouvement pour faciliter la résolution des problèmes plus compliqués. Celles-ci sont parfois appelées équations MRUA.

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