Vidéo : Limites, règle de L’Hôpital et définitions avec delta et epsilon

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Limites, règle de L’Hôpital et définitions avec delta et epsilon

17:33

Transcription de vidéo

Les dernières vidéos traitaient de l’idée d’une dérivée. Et avant de passer aux intégrales, je veux prendre un peu de temps pour parler des limites. Pour être honnête, l’idée d’une limite n’est pas vraiment nouvelle. Si vous savez ce que le mot approche signifie, vous savez déjà à peu près ce qu’est une limite. On pourrait dire qu’il s’agit d’attribuer une notation sophistiquée à l’idée intuitive d’une valeur qui se rapproche d’une autre.

Mais il existe plusieurs raisons de consacrer une vidéo complète à ce sujet. Tout d’abord, cela vaut la peine de montrer comment la description que j’ai faite des dérivées jusqu’à présent s’adroite sur la définition formelle d’une dérivée telle qu’elle est généralement présentée dans la plupart des cours et manuels. Je veux vous donner un peu confiance que penser en termes de d𝑥 et d𝑓 comme des petites poussées concrètes non nuls n’est pas simplement un truc pour construire l’intuition. C’est en fait soutenu par la définition formelle d’une dérivée dans toute sa rigueur. Je souhaite également clarifier ce que les mathématiciens veulent dire exactement quand ils disent approche en termes de quelque chose qui s’appelle la définition epsilon–delta des limites. Nous terminerons ensuite avec une astuce intelligente pour calculer les limites, appelée règle de L’Hôpital.

Commençons par la première étape : examinons la définition formelle de la dérivée. Pour rappel, lorsque vous avez une fonction 𝑓 de 𝑥, de penser à sa dérivée pour une entrée particulière, peut-être 𝑥 est égal à deux. Vous commencez en imaginant poussant du coude sur l’entrée avec des petits d𝑥 et regarder le changement résultant à la sortie, d𝑓. Le rapport d𝑓 divisé par d𝑥, qui peut être considéré comme une pente ascendante entre le point de départ sur la courbe et le point poussé, est presque ce que la dérivée est. La dérivée réelle est celle que ce rapport approche lorsque d𝑥 approche de zéro. Et juste pour expliquer un peu ce que cela signifiait. Ce coup de pouce à la sortie, d𝑓, est la différence entre 𝑓 à l’entrée de départ plus d𝑥 et 𝑓 à l’entrée de départ, la modification de la sortie provoquée par d𝑥.

Pour exprimer que vous voulez trouver ce que ce rapport approche lorsque d𝑥 se rapproche de zéro, vous écrivez lim, pour la limite, avec d𝑥 flèche en dessous de zéro. Maintenant, vous ne verrez presque jamais les termes avec un d minuscule, comme d𝑥, dans une expression limite comme celle-ci. Au lieu de cela, la norme consiste à utiliser une variable différente, quelque chose comme 𝛿𝑥 ou généralement ℎ pour une raison quelconque. J’aime y penser, c’est que les termes avec ce d minuscule dans l’expression de la dérivée typique ont intégré cette idée de limite. L’idée que d𝑥 est supposé aller finalement vers zéro. Donc, dans un sens, ce côté gauche ici, d𝑓 sur d𝑥, le rapport que nous avons pensé à depuis quelques vidéos, est juste un raccourci pour ce que le côté droit sorts ici plus en détail. Écrire exactement ce que nous entendons par d𝑓 et écrire explicitement ce processus limite. Et ce côté droit est la définition formelle d’une dérivée, comme vous le voyez couramment dans n’importe quel manuel d’analyse.

Et si vous me permettez un petit coup de gueule ici, je tiens à souligner que rien dans cette droite ne fait référence à l’idée paradoxale d’un changement infiniment petit. Le point de limite est d’éviter cela. Cette valeur ℎ est exactement la même chose que le d𝑥 que j’ai mentionné tout au long de la série. C’est un coup de pouce à l’entrée de 𝑓 avec des tailles non nulles et très petites, comme 0.001. Nous analysons simplement ce qui se passe pour des choix arbitrairement petits de ℎ. En fait, la seule raison pour laquelle les personnes introduisant un nouveau nom de variable dans cette définition formelle - plutôt que simplement, vous savez, en utilisant d𝑥 - est très clair : ces modifications apportées à l’entrée ne sont que des nombres ordinaires qui n’ont rien à voir avec des infinitésimaux. Parce que la chose est, il y a d’autres qui aiment interpréter ce d𝑥 comme une variation infiniment petite, peu importe ce que cela signifierait. Ou simplement dire que d𝑥 et d𝑓 ne sont que des symboles que nous ne devrions pas prendre trop au sérieux.

Mais à présent dans la série, vous savez que je ne suis pas vraiment partisan de l’un ou l’autre de ces points de vue. Je pense que vous pouvez et devriez interpréter d𝑥 comme un coup de pouce concret et très petit, du moment que vous vous rappelez de demander ce qui se passe lorsque cette chose approche de zéro. D’une part, et j’espère que les quelques vidéos précédentes vous ont aidé à vous en convaincre, cela contribue à renforcer l’intuition de la source des règles de calcul. Mais ce n’est pas juste un truc pour construire des intuitions. Tout ce que j’ai déjà dit à propos des dérivées avec cette philosophie très-petite-poussée-concrète n’est qu’une traduction de cette définition formelle que nous fixons actuellement. En bref, le gros problème au sujet des limites est qu’elles nous ont évité de parler de changements infiniment petits. En demandant plutôt ce qui se passe lorsque la taille d’une petite variation dans notre variable approche de zéro.

Et cela nous amène à l’objectif numéro deux, comprenant exactement ce que cela signifie pour une valeur de s’approcher d’une autre. Par exemple, considérons la fonction deux plus ℎ au cube moins deux au cube tout divisé par ℎ. Il s’agit de l’expression qui apparaît lorsque vous découvrez la définition d’une dérivée de 𝑥 au cube évalué à 𝑥 est égal à deux. Mais pensons tout ceci comme une fonction avec une entrée ℎ. Sa courbe est cette belle parabole continue. Ce qui aurait du sens car c’est un terme cubique divisé par un terme linéaire. Mais en réalité, si vous réfléchissez à ce qui se passe à ℎ est égal à zéro, vous obtiendrez zéro divisé par zéro, ce qui n’est pas défini. Donc vraiment, cette parabole a un trou en ce point. et vous devez exagérer pour dessiner ce trou, souvent avec un petit cercle vide comme celui-ci.

Mais gardez à l’esprit que la fonction est parfaitement définie pour des entrées aussi proches de zéro que vous le souhaitez. Et n’êtes-vous pas d’accord pour dire que lorsque ℎ approche de zéro, la sortie correspondante, la hauteur de cette courbe, approche de 12 ? Et peu importe de quel côté vous venez. Cette limite de ce rapport lorsque ℎ se rapproche de zéro est égal à 12. Mais imaginez que vous êtes un mathématicien inventant l’analyse et que quelqu’un vous demande sceptiquement : « Eh bien, qu’est-ce que vous entendez exactement par approche ?» Ce serait une sorte de question ennuyeuse. Je veux dire, allons-y, nous savons tous ce que cela signifie pour une valeur de se rapprocher d’une autre. Mais commençons à réfléchir aux moyens de répondre à cette personne, sans aucune ambiguïté.

Pour un intervalle donné d’entrées à une certaine distance de zéro, à l’exclusion du point interdit zéro lui-même. Regardez toutes les sorties correspondantes, toutes les hauteurs possibles de la courbe au-dessus de cet intervalle. Au fur et à mesure que l’intervalle des valeurs d’entrée se rapproche de zéro. Cet intervalle de valeurs de sortie se rapproche de plus en plus de 12. Et surtout, la taille de cet intervalle de valeurs de sortie peut être réduite au minimum. En contre-exemple, considérons une fonction qui ressemble à ceci. Ce qui n’est pas non plus défini en zéro, mais il saute un peu à cet endroit. Lorsque vous approchez ℎ de zéro par la droite, la fonction se rapproche de la valeur deux. Mais comme vous venez de la gauche, elle se rapproche de un. Puisqu’il n’y a pas une seule valeur claire et non ambiguë vers laquelle cette fonction s’approche lorsque ℎ s’approche de zéro. La limite n’est tout simplement pas définie dans ce cas.

Une façon de penser à cela est lorsque vous examinez tout intervalle d’entrées autour de zéro et que vous considérez l’intervalle de sorties correspondant. Lorsque vous réduisez cet intervalle d’entrée, les sorties correspondantes ne se limitent pas à une valeur spécifique. Au lieu de cela, ces sorties chevauchent un intervalle qui ne devient jamais plus petit que un. Même si vous créez un intervalle d’entrée aussi petit que vous pouvez l’imaginer. Et cette perspective de réduction d’un intervalle d’entrée autour du point limite. Et voir si vous êtes limité ou non et combien cela réduit l’intervalle de sortie. Conduit à quelque chose appelé la définition des limites epsilon–delta.

Maintenant, je devrais vous dire que vous pourriez affirmer que c’est une tâche inutilement lourde pour une introduction au calcul. Comme je l’ai dit, si vous savez ce que le mot approche signifie, vous savez déjà ce que signifie une limite. Il n’y a rien de nouveau sur le plan conceptuel ici. Mais ceci est un aperçu intéressant du domaine de l’analyse réelle. Et cela vous donne un avant-goût de la façon dont les mathématiciens rendent les idées intuitives de l’analyse un peu plus étanches et rigoureuses. Vous avez déjà vu l’idée principale ici. Lorsqu’une limite existe, vous pouvez rendre cet intervalle de sortie aussi petit que vous le souhaitez. Mais lorsque la limite n’existe pas, cet intervalle de sortie ne peut pas être inférieur en taille à une valeur particulière. Peu importe la réduction de l’intervalle d’entrée autour de l’entrée limite.

Formulons cette même idée mais un peu plus précisément. Peut-être dans le contexte de cet exemple où la valeur limite est de 12. Pensez à une distance de 12, où pour une raison quelconque, il est courant d’utiliser la lettre grecque 𝜀 pour désigner cette distance. Et l’intention ici sera que cette distance, 𝜀, soit aussi petite que vous le souhaitez. Ce que cela signifie pour la limite d’exister est que vous serez toujours en mesure de trouver un intervalle d’entrées autour de notre point limite à une certaine distance 𝛿 autour de zéro. De sorte que toute entrée à une distance inférieure à 𝛿 de zéro correspond à une sortie à une distance inférieure à 𝜀 de 12.

Et le point clé ici est que cela est vrai pour tout 𝜀, peu importe la taille. Vous serez toujours en mesure de trouver le correspondant 𝛿. En revanche, lorsqu’une limite n’existe pas, comme dans cet exemple ici. Vous pouvez trouver un 𝜀 suffisamment petit, comme 0.4. Ainsi, quelle que soit votre taille, votre gamme se situe autour de zéro, même si 𝛿 est minuscule. L’intervalle de sorties correspondant est toujours toujours trop grand. Il n’y a pas de sortie limite lorsque tout est à une distance 𝜀 de cette sortie.

Jusqu’ici, tout cela est assez théorique, vous ne pensez pas ? Les limites étant utilisées pour définir formellement la dérivée, puis 𝜀 et 𝛿 étant utilisés pour définir rigoureusement la limite elle-même. Terminons donc ici avec un truc pour calculer les limites. Par exemple, disons que pour une raison quelconque vous êtes en train d’étudier la fonction sin de 𝜋 fois 𝑥 divisé par 𝑥 carré moins un. Peut-être que cela modélisait une sorte d’oscillation atténuée. Lorsque vous tracez un tas de points pour représenter cela, cela semble assez continu. Mais il y a une valeur problématique à 𝑥 égale à un. Lorsque vous la prenez, le sinus de 𝜋 est, bien, zéro. Et le dénominateur est donc nul. Donc, la fonction n’est en réalité pas définie pour cette entrée. Et la courbe devrait vraiment avoir un trou là.

Cela se produit également au fait que 𝑥 est égal à moins un. Mais concentrons notre attention sur un seul de ces trous pour le moment. La courbe semble certainement approcher une valeur distincte en ce point-là, n’est-ce pas ? Alors, vous vous demandez peut-être comment trouver exactement quel résultat cela approche lorsque 𝑥 s’approche de un, étant donné que vous ne pouvez pas simplement poser un. Eh bien, une façon de le calculer serait de poser un nombre qui est vraiment très proche d’un, comme 1.00001. En faisant cela, vous constaterez qu’il devrait y avoir un nombre autour de moins 1.57. Mais existe-t-il un moyen de savoir précisément ce que c’est ? Un processus systématique pour prendre une expression comme celle-ci qui ressemble à zéro divisée par zéro pour une entrée et demander quelle est sa limite lorsque 𝑥 approche de cette entrée.

Après des limites si utiles, laissez-nous écrire la définition des dérivées, les dérivées peuvent en réalité revenir ici et renvoyer la faveur pour nous aider à évaluer les limites. Laissez-moi vous montrer ce que je veux dire. Voici ce que la courbe du sinus de 𝜋 fois 𝑥 ressemble. Et voici à quoi ressemble la courbe de 𝑥 carré moins un. C’est un peu beaucoup à l’écran, mais juste se concentrer sur ce qui se passe autour de 𝑥 est égal à un. Le point ici est que le sinus de 𝜋 fois 𝑥 et 𝑥 au carré moins un sont à la fois zéro en ce point-là. Ils ont tous deux traversé l’axe des 𝑥. Dans le même esprit que de poser une valeur spécifique proche de un, comme 1.00001. Faisons un zoom avant sur ce point et considérons ce qui se passe juste à l’écart d’un petit coup de pouce d𝑥. La valeur sin de 𝜋 fois 𝑥 est abaissée. Et la valeur de ce coup de pouce, qui a été causée par le coup de pouce d𝑥 à l’entrée, est ce que nous pourrions appeler dsin de 𝜋𝑥.

Et de notre connaissance des produits dérivés, en utilisant la règle de la chaîne, qui devrait être autour de cos de 𝜋 fois 𝑥 fois 𝜋 fois d𝑥. Puisque la valeur de départ était 𝑥 égale à un, nous remplaçons par un pour cette expression 𝑥. En d’autres termes, la quantité qui varie de ce sinus de 𝜋 fois 𝑥 est approximativement proportionnelle à d𝑥. Avec une constante de proportionnalité égale à cos de 𝜋 fois 𝜋. Et le cos de 𝜋, si nous repensons à notre connaissance de trigonométrie, est exactement moins un. On peut donc écrire tout cela comme moins 𝜋 fois d𝑥.

De même, la variation de 𝑥 carré moins un est de quelques d𝑥 carré moins un. Et prenant la dérivée, la taille de ce petit coup de pouce devrait être deux 𝑥 fois d𝑥. Encore une fois, nous commencions à 𝑥 est égal à un, donc poser 𝑥 est égal à un dans cette expression. Soit, la taille de ce coup de pousse de sortie est d’environ deux fois un fois d𝑥. Cela signifie que pour les valeurs de 𝑥 qui ne sont qu’un petit coup de pouce, d𝑥, s’éloignent de un. Le rapport, sin de 𝜋𝑥 divisé par 𝑥 au carré moins un, est d’environ moins 𝜋 fois d𝑥 divisé par deux fois d𝑥. Les d𝑥 ici s’annule, donc ce qui reste est négatif 𝜋 sur deux. Et surtout, ces approximations deviennent de plus en plus précises pour des choix de plus en plus petits de d𝑥, non ? Donc, ce rapport, moins 𝜋 sur deux, nous indique en fait la valeur limite précise lorsque 𝑥 approche de un.

Et rappelez-vous, ce que cela signifie est que la hauteur limite sur notre graphique d’origine est, évidemment, exactement moins 𝜋 sur deux. Maintenant, ce qui est arrivé est un peu subtil. Donc, je veux le répéter, mais cette fois un peu plus généralement. Au lieu de ces deux fonctions spécifiques, qui sont toutes deux égales à zéro, 𝑥 est égal à un. Pensez aux deux fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, qui sont toutes deux à zéro en une valeur commune, 𝑥 est égal à 𝑎. La seule contrainte est que celles-ci doivent être des fonctions où vous pouvez en prendre une dérivée en 𝑥 est égal à 𝑎. Ce qui signifie qu’ils ressemblent à une droite lorsque vous effectuez un zoom suffisamment proche de cette valeur. Maintenant, même si vous ne pouvez pas calculer 𝑓 divisé par 𝑔 à ce point de problème, puisque les deux sont égaux à zéro. Vous pouvez poser des questions sur ce rapport pour les valeurs de 𝑥 vraiment, vraiment proche de 𝑎, la limite que 𝑥 approche 𝑎.

Et il est utile de penser à ces entrées voisines comme un simple coup de coude minuscule, d𝑥, loin de 𝑎. La valeur de 𝑓 à ce point est d’environ sa dérivée, d𝑓 sur d𝑥, évaluée à 𝑎 fois d𝑥. De même, la valeur de 𝑔 à ce point est d’environ la dérivée de 𝑔 évaluée à 𝑎 fois d𝑥. Ainsi, près de ce point de trouble, le rapport entre les sorties de 𝑓 et 𝑔 est en fait environ le même que la dérivée de 𝑓 en 𝑎 fois d𝑥 divisé par la dérivée de 𝑔 en 𝑎 fois d𝑥. Ces d𝑥 s’annulent, donc le rapport entre 𝑓 et 𝑔 près de 𝑎 est à peu près le même que le rapport entre leurs dérivées. Parce que chacune de ces approximations devient de plus en plus précise pour des coups de pouce de plus en plus petits. Ce rapport de dérivées donne la valeur précise de la limite.

C’est un truc vraiment pratique pour calculer beaucoup de limites. Chaque fois que vous rencontrez une expression qui semble égale à zéro divisé par zéro, lorsque vous placez une entrée particulière. Essayez simplement de prendre la dérivée des expressions du haut et du bas et de poser la même entrée de problème. Cette astuce est appelée la règle de L’Hôpital. Fait intéressant, elle a été découverte par Johann Bernoulli. Mais L’Hôpital était un homme fortuné qui payait essentiellement à Bernoulli les droits de certaines de ses découvertes mathématiques. Le milieu universitaire est étrange à l’époque. Mais bon, de façon très littérale, il est utile de comprendre ces minuscules coups de pouce.

Vous vous souvenez peut-être maintenant que la définition d’une dérivée pour une fonction donnée revient à calculer la limite d’une fraction donnée qui ressemble à zéro divisé par zéro. Vous pourriez donc penser que la règle de L’Hôpital pourrait nous permettre de découvrir de nouvelles formules dérivées. Mais ce serait en fait de la triche, puisque vous ne connaissez probablement pas la dérivée du numérateur. En ce qui concerne la découverte de formules dérivées, ce que nous avons beaucoup fait dans cette série, il n’existe pas de méthode systématique de plug-and-play. Mais c’est une bonne chose. Chaque fois que la créativité est nécessaire pour résoudre des problèmes comme ceux-ci, c’est un bon signe que vous faites quelque chose de réel. Quelque chose qui pourrait vous donner un outil puissant pour résoudre les problèmes futurs.

Et en parlant d’outils puissants, je vais maintenant parler de ce qu’est une intégrale ainsi que du théorème fondamental du calcul. Et ceci est un autre exemple de limites où l’on peut utiliser des limites pour aider à donner un sens clair à une idée assez délicate qui flirte avec l’infini.

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