Transcription de la vidéo
Déterminez l’intégrale de moins six sinus de sept 𝑥 plus deux fois sécante au carré de six 𝑥 moins un par rapport à 𝑥.
On nous demande ici de déterminer l'intégrale de trois termes distincts. Deux de ces termes sont des fonctions trigonométriques et le troisième terme est une constante. Nous savons comment calculer l'intégrale de ces trois termes individuellement. Ainsi, en utilisant les propriétés des intégrales, nous pouvons simplement intégrer chaque terme séparément. Nous obtenons ainsi l'intégrale de moins six sinus de sept 𝑥 par rapport à 𝑥 plus l'intégrale de deux sécante au carré de six 𝑥 par rapport à 𝑥 plus l'intégrale de moins un par rapport à 𝑥.
Avant de procéder au calcul de chaque intégrale, prenons d'abord le facteur constant à l'extérieur de chacune de nos intégrales. Prenons le facteur moins six de notre première intégrale, le facteur deux de notre deuxième intégrale et le facteur de moins un de notre troisième intégrale pour obtenir l'expression suivante. Maintenant, nous sommes prêts à calculer chacune de nos intégrales séparément. Commençons par notre première intégrale.
Nous devons intégrer la fonction sinus. Pour ce faire, nous devons nous rappeler le résultat suivant. Pour toute constante réelle 𝑎 non nulle, l'intégrale du sinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins un sur 𝑎 fois cosinus de 𝑎𝑥 plus la constante d'intégration 𝐶. Dans notre fonction, la valeur de 𝑎 vaut sept. Si nous substituons sept à notre résultat, nous obtenons moins un sur sept fois cosinus de sept 𝑥. Bien que nous puissions ajouter la constante d'intégration pour chacune de nos intégrales, il faudrait ensuite les réunir à la fin. De toute façon, il est plus facile d'ajouter une constante d'intégration à la fin de notre expression. Enfin, nous devons multiplier notre expression par le facteur extérieur à notre intégrale. Cela nous donne moins un fois moins six sur sept fois cosinus de sept 𝑥.
Évaluons maintenant notre deuxième intégrale, à savoir l'intégrale de sécante au carré de six 𝑥 par rapport à 𝑥. Pour cela, rappelons le résultat suivant. Pour toute constante réelle 𝑎 non nulle, l'intégrale de sécante au carré de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 fois tangente de 𝑎𝑥 plus la constante d'intégration 𝐶. Cette fois-ci, notre valeur de 𝑎 est égale à six. Rappelez-vous que nous avons le coefficient deux en dehors de notre intégrale. En substituant 𝑎 égale à six dans ce résultat et en multipliant par deux, nous obtenons deux fois un sixième de tangente de six 𝑥.
Enfin, nous devons calculer notre dernière intégrale, l'intégrale de un par rapport à 𝑥. Il existe plusieurs façons de le faire. Nous pouvons par exemple utiliser la formule de l’intégrale d’une puissance. Mais il est plus simple de se rappeler que la dérivée de toute fonction linéaire est le coefficient de 𝑥. Ainsi, la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un. Cela signifie que 𝑥 est une primitive de un. Ainsi, quand nous intégrons une constante, il suffit de la multiplier par 𝑥. N'oubliez pas que nous soustrayons cette valeur, il faut donc soustraire notre valeur de 𝑥. Enfin, n'oubliez pas que nous devons ajouter une constante d'intégration à la fin de notre expression.
Ensuite, il suffit d'additionner tous ces termes pour obtenir l'expression de notre intégrale. Nous pouvons alors simplifier nos coefficients. Nous obtenons six sur sept fois cosinus de sept 𝑥 plus un tiers tangente de six 𝑥 moins 𝑥 plus notre constante d'intégration 𝐶. Pour finir, nous allons réordonner nos termes en amenant le terme moins 𝑥 au début de notre expression. Nous obtenons alors notre réponse finale. Nous avons pu montrer que l'intégrale de moins six sinus de sept 𝑥 plus deux sécante au carré de six 𝑥 moins un par rapport à 𝑥 est égale à moins 𝑥 plus six sur sept fois cosinus de sept 𝑥 plus un tiers de tangente de six 𝑥 plus une constante d'intégration 𝐶.
