Vidéo question :: Déterminer l’aire sous la courbe d’une fonction racine Mathématiques

Transcription de la vidéo

Soit la fonction 𝑓 définie par 𝑓 de 𝑥 égale la racine cubique de cinq 𝑥 plus 15. Déterminez, au millième près, l’aire de la région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, l’axe des 𝑥 et la droite 𝑥 égale moins deux.

Avant de poursuivre, il serait judicieux de tracer la courbe donnée par 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons d'abord trouver l'emplacement approximatif de l'ordonnée 𝑦 à l'origine en fixant 𝑥 à zéro. En faisant cela, nous obtenons 𝑓 de zéro égale la racine cubique de 15. Cela donne approximativement 2.5. De la même façon, si nous mettons 𝑓 de 𝑥 égale zéro, nous pouvons trouver l'emplacement de toute intersection avec l'axe des 𝑥. Nous obtenons ainsi la racine cubique de cinq 𝑥 plus 15 égale zéro. Nous pouvons donc mettre chaque membre au cube et soustraire 15 pour obtenir cinq 𝑥 égale moins 15. En divisant par cinq, nous obtenons 𝑥 égale moins trois.

La forme générale de la courbe ressemble beaucoup à celle du graphique de la fonction cubique, sauf que celle-ci est donnée par une symétrie par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. Ainsi, nous voyons que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale racine cubique de cinq 𝑥 plus 15 ressemble à ceci. En effet, nous voulons déterminer au millième près l'aire délimitée par notre courbe, l'axe des 𝑥 et la droite 𝑥 égale moins deux. Nous ajoutons donc la droite 𝑥 égale moins deux à notre graphique. Il s’agit d’une droite verticale qui passe par l'axe des 𝑥 à la valeur moins deux. Il s'ensuit que nous allons calculer la région hachurée représentée.

Alors, comment déterminer l'aire entre une courbe et l'axe des 𝑥 ? Bien, si nous supposons que l'aire se trouve uniquement au-dessus de l'axe des 𝑥 entres les limites 𝑎 et 𝑏 où 𝑏 est supérieure ou égale à 𝑎, l'aire est donnée par l'intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous rappelons que si une partie de la région se trouve sous l'axe des 𝑥, alors il faut faire un peu attention. Il faut séparer la région et trouver la valeur absolue de l'intégrale là où elle se trouve sous l'axe des 𝑥. Dans notre cas, cependant, notre région se trouve uniquement au-dessus de l'axe des 𝑥. Nous pouvons donc simplement trouver l'intégrale correspondante.

La région est donc l'intégrale définie entre les valeurs moins trois et moins deux de la racine cubique de cinq 𝑥 plus 15 par rapport à 𝑥. La raison pour laquelle nous choisissons les valeurs moins trois et moins deux pour nos bornes est que ce sont les valeurs de 𝑥 supérieures et inférieures où notre région doit se trouver. Comment allons-nous donc calculer cette intégrale ? Nous pouvons remarquer que notre fonction est une fonction composée et que la dérivée de la fonction intérieure cinq 𝑥 plus 15 est juste une constante. Cela indique bien que nous sommes en mesure d'utiliser l'intégration par changement de variable.

Plus précisément, nous allons considérer 𝑢 comme étant la fonction intérieure. Ainsi, 𝑢 correspond à cinq 𝑥 plus 15. Alors, d𝑢 sur d𝑥, la dérivée de cette fonction par rapport à 𝑥, est juste cinq. Grâce à l'intégration par changement de variable, même si d𝑢 sur d𝑥 ne correspond pas à une fraction, nous la traitons de la même manière. Ceci revient à dire qu'un cinquième de d𝑢 égale d𝑥. Alors, nous remplaçons cinq 𝑥 plus 15 par 𝑢. Puisqu’il s’agit d’une racine cubique, nous allons écrire cela comme 𝑢 à la puissance d'un tiers. De manière similaire, nous pouvons remplacer d𝑥 par un cinquième d𝑢. Ainsi, notre aire sera une intégrale définie d'un cinquième de 𝑢 à la puissance un tiers d𝑢.

Seulement, quelles sont nos bornes supérieure et inférieure ? Il suffit, pour les calculer, de substituer 𝑥 égale moins deux et 𝑥 égale moins trois dans notre expression de 𝑢. Nous appellerons notre borne supérieure 𝑢 un et nous la trouvons en posant 𝑥 égale moins deux. Cela donne donc cinq fois moins deux plus 15, ce qui donne cinq. De même, notre borne inférieure est trouvée en posant 𝑥 égale moins trois. Nous obtenons cinq fois moins trois plus 15, ce qui donne zéro.

Ainsi, l'aire va être l'intégrale définie entre zéro et cinq d'un cinquième fois 𝑢 à la puissance un tiers d𝑢. Il est possible de sortir ce facteur constant d'un cinquième si l'on veut et cela pourrait rendre la partie suivante un peu plus simple. Nous intégrons 𝑢 à la puissance un tiers par rapport à 𝑢 en ajoutant un à la puissance, puis en divisant par cette nouvelle valeur. Ainsi, 𝑢 à la puissance un tiers devient 𝑢 à la puissance quatre tiers sur quatre tiers, ce qui équivaut à trois quarts de 𝑢 à la puissance quatre tiers.

Il nous faut maintenant substituer 𝑢 égale cinq et 𝑢 égale zéro dans cette expression et trouver leur différence. Nous constatons que notre aire est égale à un cinquième fois trois quarts fois cinq à la puissance quatre sur trois moins trois quarts fois zéro à la puissance quatre sur trois. Cependant, bien entendu, la deuxième partie de cette différence est en fait nulle. Nous allons donc saisir dans notre calculatrice un cinquième fois trois quarts fois cinq à la puissance quatre sur trois. Nous obtenons alors 1.28248 etc. Seulement, la question nous demande de déterminer cette valeur au millième près, c'est-à-dire à trois décimales près. Soit 1.282. Ainsi, au millième près, l'aire de la région que nous observons est de 1.282 unités d'aire.