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Vidéo de question : Déterminer la période orbitale à partir du rayon et de la vitesse pour les orbites circulaires Physique

Le tableau affiche des données sur une des lunes de Saturne, Titan. En utilisant ces données, calculez la période orbitale de Titan autour de Saturne. Supposons que Titan ait une orbite circulaire. Donnez votre réponse en jours, au jour près.

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Transcription de vidéo

Le tableau affiche des données sur une des lunes de Saturne, Titan. En utilisant ces données, calculez la période orbitale de Titan autour de Saturne. Supposons que Titan ait une orbite circulaire. Donnez votre réponse en jours, au jour près.

Alors, dans cette question, on nous donne un tableau concernant Titan, une lune de Saturne. Plus précisément, nous avons reçu le diamètre de Titan, son rayon orbital, sa vitesse orbitale et sa masse. Nous devons utiliser ces informations, que nous les utilisions en totalité ou en partie, afin de calculer la période orbitale de Titan autour de Saturne ou, en d’autres mots, le temps nécessaire à Titan pour parcourir une orbite autour de Saturne. Maintenant, pour répondre à cette question, dessinons rapidement un petit schéma. Disons que ceci est Saturne. Nous savons que c’est Saturne parce que nous avons dessiné ses anneaux qui l’entourent. Et disons que ce cercle rose représente l’orbite de Titan. Maintenant, la raison pour laquelle nous avons tracé un cercle est parce que la question nous a dit de supposer que Titan avait une orbite circulaire.

Alors maintenant que nous avons dessiné l’orbite de Titan, dessinons Titan lui-même. Et puis inscrivons sur ce schéma toutes les informations qui nous ont été données sur Titan. Tout d’abord, on nous a indiqué le diamètre de Titan. Or, c’est le diamètre de la lune elle-même. Alors appelons cela 𝑑 et notons qu’il vaut 5150 kilomètres. Deuxièmement, on nous a donné le rayon orbital de Titan, en d’autres mots, la distance entre le centre de Saturne et l’orbite de Titan. Appelons ce rayon orbital 𝑟. Et écrivons la valeur de 𝑟 le rayon, qui est de 1220000 kilomètres. Troisièmement, on nous a donné la vitesse orbitale de Titan. En d’autres mots, si nous supposons que Titan suit son orbite autour de Saturne dans ce sens, disons que sa vitesse orbitale, que nous appellerons 𝑣, est de 5,57 kilomètres par seconde.

Et puis enfin, on nous a donné la masse de Titan. Alors disons que la masse de Titan, que nous appellerons 𝑚, est de 1,35 fois 10 puissance 23 kilogrammes. Nous avons donc quatre informations et nous les avons toutes écrites sur notre schéma. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer la période de l’orbite de Titan autour de Saturne. Nous devons donc déterminer le temps nécessaire à Titan pour faire le tour de son orbite une fois. Maintenant, pour répondre à cette question, nous devons d’abord rappeler que la vitesse d’un objet est définie comme la distance parcourue divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance.

Maintenant, la raison pour laquelle nous rappelons cette équation est parce que, tout d’abord, nous avons reçu la vitesse orbitale de Titan. Nous savons qu’elle se déplace à 5,57 kilomètres par seconde, et deuxièmement, parce que nous connaissons le rayon orbital de Titan, nous pouvons calculer la distance parcourue par Titan lors d’une orbite complète. Cette distance est simplement la distance autour du cercle qui représente son orbite parce que c’est la distance parcourue par Titan sur une orbite.

Or, cette distance spécifique est en fait la circonférence du cercle, que nous appellerons 𝑐. Et nous pouvons aussi rappeler que la circonférence d’un cercle se trouve en multipliant deux 𝜋 par le rayon du cercle. Donc, en utilisant ces deux équations, nous pouvons calculer tout ce dont nous avons besoin. Nous connaissons la vitesse de l’orbite de Titan. Et nous pouvons calculer la distance parcourue par Titan sur une orbite, en utilisant la relation entre la circonférence d’un cercle et son rayon. Et cela nous permettra donc de déterminer le temps nécessaire à Titan pour parcourir son orbite une fois ou, en d’autres mots, la période orbitale de Titan. Commençons donc par dire que la vitesse de Titan, que nous avons appelée 𝑣, est égale à la distance qu’il parcourt en une orbite, qui équivaut à la circonférence du cercle divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance, que nous appellerons 𝑡. Et c’est ce que nous essayons de déterminer.

Donc, pour trouver 𝑡, nous devrons réorganiser cette équation. Nous pouvons le faire en multipliant les deux côtés par 𝑡 divisé par 𝑣. De cette façon, les 𝑣 s’annulent sur le côté gauche et les 𝑡 s’annulent sur le côté droit. Et donc, ce qui nous reste est la période de l’orbite de Titan à gauche. Et à droite, nous avons la circonférence du cercle 𝑐 divisée par la vitesse orbitale de Titan 𝑣. On peut alors remplacer 𝑐 par deux 𝜋𝑟 car, encore une fois, la circonférence d’un cercle est égale à deux 𝜋 multipliés par le rayon de ce cercle. Et donc à ce stade, nous pouvons insérer quelques valeurs. On peut dire que 𝑡 est égal à deux 𝜋 multipliés par le rayon de l’orbite qui est de 1220000 kilomètres. Et nous divisons cela par 5,57 kilomètres par seconde, la vitesse orbitale de Titan.

Maintenant, à ce stade, nous aurions pu convertir le rayon de l’orbite en mètres et la vitesse orbitale en mètres par seconde aussi. Mais nous n’avons pas besoin de le faire ici car nous pouvons voir que les kilomètres au numérateur s’annulent avec les kilomètres au dénominateur. Donc, même si nous avions converti le numérateur en mètres et le dénominateur en mètres par seconde, nous aurions tout de même obtenu la même réponse car les mètres se seraient annulés, tout comme le facteur de conversion dans les deux cas. Et donc ce qui nous reste ici est une fraction qui n’a pas d’unités au numérateur parce que, rappelez-vous, les kilomètres se sont annulés. Et parce que les kilomètres au dénominateur s’annulent aussi, l’unité au dénominateur est un divisé par des secondes.

Cela donne des secondes pour la fraction dans son ensemble. Et donc, lorsque nous calculons la valeur de cette fraction, nous obtenons la valeur numérique en secondes de la période de l’orbite de Titan. Donc, lorsque nous faisons cela, nous constatons que Titan a une période de 1376209,349… secondes. Cependant, ce n’est pas la réponse finale. N’oubliez pas que nous devons donner notre réponse en jours, au jour près. La première chose à faire est donc de convertir cette quantité en jours. Pour ce faire, nous devons nous rappeler la conversion qu’un jour équivaut à 24 heures. Mais ensuite, nous multiplions 24 par 60 car il y a 60 minutes par heure. Et puis nous multiplions cela une fois de plus par 60 car il y a 60 secondes dans chaque minute.

Donc, 24 heures par jour, chaque heure contient 60 minutes, et chaque minute contient 60 secondes. Par conséquent, en un jour, il y a 24 fois 60 fois 60 secondes. Ou en d’autres mots, il y a 86400 secondes dans une journée. Donc, pour convertir des secondes en jours, nous devons diviser notre valeur par 86400. Et nous pouvons écrire ceci numériquement car la période de l’orbite de Titan est égale à 1376209,349… secondes, divisé par 86400 secondes par jour. Et cela donne un résultat correct en ce qui concerne les unités parce que les secondes s’annulent au numérateur et au dénominateur. Et il nous reste un sur des jours au dénominateur, ce qui donne des jours pour la fraction dans son ensemble. Donc, en calculant la valeur de la fraction, nous constatons que la période de l’orbite de Titan est de 15,9283… jours.

Mais rappelez-vous, nous devons donner notre réponse au jour près. Par conséquent, après avoir arrondi, nous avons trouvé la réponse à une question. En supposant une orbite circulaire, Titan a une orbite de 16 jours autour de Saturne au jour près. Et il convient de noter, en passant, que nous n’avons pas utilisé toutes les informations qui nous ont été données dans le tableau. Nous devions réaliser que le diamètre de Titan n’était pas pertinent ici, de même que la masse de Titan. Nous avions seulement besoin d’utiliser le rayon orbital et la vitesse orbitale. Et parfois, nous devrons nous méfier de cela. Nous devons être en mesure de choisir les informations correctes afin de pouvoir résoudre un problème.

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