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240 personnes suivent des cours de sciences. Il y a 104 personnes qui étudient la chimie, 132 personnes qui étudient la biologie et 68 qui étudient les deux. Quelle est la probabilité qu’une personne étudie la chimie sachant qu’elle étudie la biologie?
Le mot clé dans cette question est « sachant que », ce qui nous indique que nous recherchons une probabilité conditionnelle, la probabilité conditionnelle que quelqu’un étudie la chimie en sachant qu’il étudie la biologie. Les probabilités conditionnelles peuvent être exprimées en utilisant la notation d’une droite verticale. Nous écrivons la probabilité de 𝐶, la chimie, sachant 𝐵, la biologie.
Maintenant, pour nous aider à répondre à cette question, organisons les informations qui nous ont été données en utilisant un diagramme de Venn. Nous avons deux cercles qui se chevauchent sur notre diagramme de Venn, un pour inclure les étudiants qui étudient la chimie et un pour inclure les étudiants qui étudient la biologie. Le chevauchement de notre diagramme de Venn représente les étudiants qui étudient à la fois la chimie et la biologie, tandis que la région à l’intérieur du diagramme de Venn mais à l’extérieur des cercles représente les étudiants qui n’étudient ni la chimie ni la biologie. Peut-être que ce sont des personnes qui étudient la physique.
Maintenant, ajoutons les informations données dans la question sur notre diagramme de Venn. On nous dit qu’il y a 104 personnes qui étudient la chimie, 132 personnes qui étudient la biologie, mais l’essentiel est que 68 de ces personnes étudient les deux. Cela signifie que le nombre au centre de notre diagramme, le chevauchement ou l’intersection de la chimie et de la biologie correspond à 68.
Nous savons également que 104 personnes étudient la chimie. Mais ce 104 correspond à toutes les personnes qui étudient la chimie. Il comprend les 68 personnes qui étudient également la biologie. Le nombre de personnes qui étudient la chimie seulement est donc de 104 moins 68. C’est 36. Nous savons que 132 personnes étudient la biologie. Mais encore une fois, ce nombre 132 comprend les 68 personnes qui étudient également la chimie. Ainsi, le nombre de personnes qui étudient la biologie seulement est de 132 moins 68. C’est 64.
Enfin, le nombre en dehors des cercles mais toujours à l’intérieur du diagramme de Venn, ce sont les personnes qui n’étudient ni la chimie ni la biologie. Nous trouvons cela en soustrayant les trois valeurs que nous avons déjà calculées du total de 240. Et cela donne 72.
Alors, maintenant que nous avons notre diagramme de Venn, nous pouvons calculer cette probabilité. Et nous allons examiner deux méthodes. La première n’est qu’une approche logique. Rappelez-vous, on nous demande la probabilité que quelqu’un étudie la chimie sachant qu’il étudie la biologie, ce qui signifie que nous savons déjà que cette personne étudie la biologie. Cela signifie que nous ne considérons plus le groupe complet des 240 personnes. Au lieu de cela, nous examinons simplement le sous-ensemble de ce groupe qui étudie la biologie. C’est tout le monde dans le cercle rose. Le nombre de personnes dans le cercle est 68 plus 64. C’est 132. Les 132 personnes qui, d’après l’énoncé, étudient la biologie. Nous choisissons donc une de ces 132 personnes, ce qui signifie que notre probabilité sera une fraction avec un dénominateur de 132.
Pour le numérateur, nous avons besoin du nombre de personnes qui étudient également la chimie. C’est toutes les personnes qui se chevauchent dans les deux cercles. C’est 68. Donc, si nous savons que la personne que nous avons choisie étudie la biologie, cela signifie qu’il y a 132 personnes possibles. Et nous savons que 68 d’entre elles étudient également la chimie. La probabilité qu’une personne étudie la chimie sachant qu’elle étudie la biologie est donc de 68 sur 132. Cette fraction peut et doit être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par quatre pour donner la fraction simplifiée 17 sur 33.
Maintenant, regardons une deuxième méthode, une méthode un peu plus formelle, où nous allons utiliser la formule de probabilité conditionnelle. La formule de probabilité conditionnelle nous dit que la probabilité qu’un événement 𝐴 se produise, sachant que l’événement 𝐵 a déjà eu lieu, est égale à la probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵. C’est la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent toutes les deux divisée par la probabilité de 𝐵.
Si nous permettons à la lettre 𝐵 ici de représenter la biologie et d’échanger simplement les 𝐴 par les 𝐶 pour représenter la chimie, alors nous voyons que la probabilité que quelqu’un étudie la chimie sachant qu’il étudie la biologie est égale à la probabilité qu’il étudie à la fois la chimie et la biologie divisée par la probabilité qu’il étudie la biologie. Nous pouvons utiliser notre diagramme de Venn ou les informations données dans la question pour déterminer chacune de ces probabilités.
Rappelez-vous, il y a 240 personnes au total. Ainsi, chaque probabilité sera une fraction avec un dénominateur de 240. Le nombre de personnes qui étudient à la fois la chimie et la biologie est de 68. Ainsi, la probabilité de l’intersection de 𝐶 et 𝐵 est de 68 sur 240. Le nombre de personnes qui étudient la biologie, qu’elles étudient ou non la chimie également, est de 132. La probabilité que quelqu’un étudie la biologie est donc de 132 sur 240.
Maintenant, nous pouvons substituer ces probabilités dans notre formule de probabilité conditionnelle. Et pour éviter d’empiler des fractions les unes sur les autres, nous écrirons ceci comme une division, 68 sur 240 divisé par 132 sur 240. Mais rappelez-vous, si nous voulons diviser par une fraction, nous devons alors inverser ou retourner cette fraction et, au lieu de diviser, nous multiplions. Notre calcul devient donc 68 sur 240 multiplié par 240 sur 132.
Maintenant, avant de tenter cette multiplication, nous pouvons faire une simplification croisée. Il y a un facteur de 240 dans le dénominateur de la première fraction et dans le numérateur de la seconde. Donc, ils vont se simplifier et donner un. Si nous effectuons la multiplication, nous obtenons 68 multiplié par un sur un multiplié par 132. Soit 68 sur 132. Notez que c’est la même chose que la probabilité non simplifiée que nous avons trouvée en utilisant notre première méthode. Ainsi, la fraction se simplifiera de la même manière pour donner 17 sur 33.
Nous avons donc utilisé deux méthodes pour montrer que la probabilité conditionnelle que quelqu’un étudie la chimie sachant qu’il étudie la biologie est de 17 sur 33. Cette fraction ne peut pas être simplifiée davantage car le numérateur et le dénominateur n’ont pas de facteurs communs autres qu’un.
