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Vidéo de question : Multiplication de nombres complexes donnés sous forme polaire Mathématiques

Si 𝑍₁ = 7 (cos 𝜃₁ + 𝑖 sin 𝜃₁), 𝑍₂ = 16 (cos 𝜃₂ + 𝑖 sin 𝜃₂) et 𝜃₁ + 𝜃₂ = 𝜋, alors quel est 𝑍₁ 𝑍₂?

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Transcription de vidéo

Si 𝑍 un est égal à sept multiplié par cos 𝜃 un plus 𝑖 sin 𝜃 un, 𝑍 deux est égal à 16 multiplié par cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux et 𝜃 un plus 𝜃 deux est égal à 𝜋, alors quel est 𝑍 un multiplié par 𝑍 deux?

Commençons par rappeler la formule du produit puisque nous allons devoir trouver le produit de ces deux nombres complexes. Pour deux nombres complexes 𝑍 un et 𝑍 deux, leur produit peut être trouvé en multipliant leurs modules et en sommant leurs arguments comme indiqué.

Commençons alors par appliquer la formule du produit à nos deux nombres complexes. Le module de 𝑍 un est sept et le module de 𝑍 deux est 16. Le produit de leurs deux modules est alors trouvé en multipliant sept par 16. L’argument de 𝑍 un est 𝜃 un et l’argument de 𝑍 deux est 𝜃 deux. Cela signifie que nous pouvons trouver l’argument pour 𝑍 un 𝑍 deux en ajoutant 𝜃 un et 𝜃 deux.

Sept multiplié par 16 est 112. On nous dit aussi que 𝜃 un plus 𝜃 deux est égal à 𝜋. Nous pouvons donc réécrire notre expression du produit de 𝑍 un et de 𝑍 deux comme 112 multiplié par cos 𝜋 plus 𝑖 sin 𝜋. Nous savons cependant que cos de 𝜋 est égal à moins un et sin de 𝜋 est égal à zéro. Nous pouvons donc réécrire cette expression comme 112 multiplié par moins un plus zéro, ce qui est moins 112. Le produit de ces deux nombres complexes, 𝑍 un et 𝑍 deux, est égal à moins 112.

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