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Résolvez l’équation logarithme de base trois de logarithme de base quatre de 𝑥 au carré plus 39 égal à un, où 𝑥 est un élément de l’ensemble de tous les nombres réels.
Nous avons une équation logarithmique pour laquelle nous devons résoudre pour déterminer 𝑥. Nous devrons être très prudents ici. Nous avons deux bases différentes. Nous avons la base trois et la base quatre pour nos logarithmes. Alors quel est un logarithme ? Eh bien, c’est simplement une autre opération mathématique. Cette fois, il détermine combien de fois un certain nombre - c’est la base- est multiplié par lui-même pour atteindre un autre nombre.
Prenons l’équation générale du logarithme de base 𝑏 de 𝑎 est égal à 𝑐. Nous élevons les deux membres comme une puissance de 𝑏. Et ceci est vraiment utile car les logarithmes sont l’opération réciproque de l’exponentiation. Donc 𝑏 à la puissance du logarithme de base de 𝑎 est simplement 𝑎. Et sur le membre de droite, nous obtenons 𝑏 à la puissance 𝑐. Donc ces deux équations sont équivalentes. La base logarithmique de 𝑏 de 𝑎 égale 𝑐 revient à dire que 𝑎 est égal à 𝑏 à la puissance 𝑐. Revenons donc à notre équation. Nous avons le logarithme de base trois d’une certaine expression. Nous allons alors élever les deux membres de notre équation comme une puissance de trois.
Lorsque nous le faisons, le membre de gauche devient le logarithme de base quatre de 𝑥 au carré plus 39. C’est l’équivalent de 𝑎 dans notre forme générale. Le membre de droite devient trois à la puissance un. C’est l’équivalent de 𝑏 à la puissance 𝑐. Mais, bien sûr, trois à la puissance un est simplement trois. Donc notre équation est le logarithme de base quatre de 𝑥 au carré plus 39 est égal à trois. Notez que nous avons une autre équation logarithmique. Cette fois, c’est la base quatre, donc nous allons maintenant élever les deux membres à une puissance de quatre. Quatre à la puissance du logarithme de base quatre de 𝑥 au carré plus 39 est juste 𝑥 au carré plus 39. Et notre membre de droite devient quatre au cube. Bien sûr, nous savons que quatre au cube sont égaux à 64, donc nous avons 𝑥 au carré plus 39 égale 64.
Nous allons maintenant résoudre pour déterminer 𝑥. Soustrayons 39 des deux membres de notre équation de sorte que 𝑥 au carré soit égal à 25. Puis, nous allons prendre la racine carrée des deux membres, en nous souvenant, bien sûr, que nous devons prendre à la fois la racine carrée positive et négative de 25. Et quand nous le faisons, nous obtenons 𝑥 est égal à plus ou moins cinq. Et ce sont des nombres réels. Il y a donc deux solutions à notre équation où 𝑥 est un élément de l’ensemble des nombres réels. C’est cinq ou moins cinq.
Maintenant, rappelez-vous, nous pourrions également vérifier cette solution en remplaçant 𝑥 égal à cinq et 𝑥 égal à moins cinq dans notre équation d’origine. Dans les deux cas, nous en obtenons un, donc nous savons que nos solutions sont correctes.
