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On peut modéliser un semi-conducteur dopé avec des accepteurs d’électrons et qui est en équilibre thermique en utilisant trois variables. On appelle 𝑛 la densité d’électrons libres dans le semi-conducteur. On appelle 𝑁 indice 𝐴 exposant moins la densité d’accepteurs d’électrons dans le semi-conducteur On appelle 𝑝 la densité de trous d’électrons dans le semi-conducteur. Laquelle des formules suivantes représente correctement la relation entre ces variables dans le semi-conducteur ? (A) La densité de trous d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons plus la densité d’électrons libres. (B) La densité de trous d’électrons est égale à la densité d’électrons libres moins la densité d’accepteurs d’électrons. (C) La densité de trous d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons moins la densité d’électrons libres. (D) La densité de trous d’électrons est égale à la densité d’électrons libres divisée par la densité d’accepteurs d’électrons. (E) La densité de trous d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons divisée par la densité d’électrons libres.
Cette question concerne un semi-conducteur dopé. Mais nous allons commencer par considérer un échantillon pur non dopé. Rappelons que pour un échantillon non dopé, les électrons libres et les trous d’électrons sont créés simultanément et cela à chaque fois qu’un électron reçoit une quantité d’énergie thermique suffisante lui permettant de rompre sa liaison atomique, de se libérer et de laisser un trou d’électron à sa place. Rappelons que pour qu’il y ait de l’énergie thermique, il faut que la température du semi-conducteur soit supérieure au zéro absolu. Si un échantillon pur se trouve à une température égale au zéro absolu, il ne peut pas y avoir de trous d’électrons ni d’électrons libres. Donc, dans cette question, nous allons supposer que la température est supérieure à zéro et par conséquent que les grandeurs 𝑝 et 𝑛 sont aussi supérieures à zéro.
Alors, dans un semi-conducteur pur, nous savons que pour chaque trou d’électron sur une couche électronique, il existe un électron libre quelque part dans l’échantillon qui occupait précédemment cette place. Donc, dans un semi-conducteur pur, la densité de trous d’électrons est égale à la densité d’électrons libres, c’est-à-dire que 𝑝 est égal à 𝑛.
Gardons cela en tête et considérons maintenant l’échantillon dopé avec des accepteurs d’électrons. Alors, nous savons que la concentration d’accepteurs d’électrons est supérieure à zéro. Rappelons que les accepteurs d’électrons sont des ions qui sont introduits dans le réseau atomique et qui possèdent un électron de moins sur leurs couches externes que les atomes qui composent l’échantillon original non dopé. Ces atomes peuvent donc accepter un électron supplémentaire sur leurs couches externes. Et cet espace pouvant accepter un électron supplémentaire correspond à un trou d’électron. Le dopage avec des accepteurs d’électrons permet donc d’augmenter la concentration de trous d’électrons dans le semi-conducteur sans créer de nouveaux électrons libres. Alors, une fois que l’échantillon est dopé, on ne peut plus dire que 𝑝 est égal à 𝑛.
Et nous devons déterminer laquelle de ces formules modélise correctement le semi-conducteur dopé. Commençons ici avec la proposition (E) qui suggère que la densité de trous d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons divisée par la densité d’électrons libres. Et la proposition (D) est assez similaire. Elle suggère que la densité de trous d’électrons est égale à la densité d’électrons libres divisée par la densité d’accepteurs d’électrons. Pour déterminer la cohérence de l’une ou l’autre de ces propositions, imaginons un échantillon dopé et essayons de le rendre de plus en plus pur, c’est-à-dire en supprimant progressivement les accepteurs d’électrons ainsi que les trous d’électrons associés. En faisant cela, nous réduisons la densité d’accepteurs d’électrons et elle se rapproche finalement de zéro.
Voyons comment les deux formules évoluent dans ce cas. Considérons d’abord la proposition (E), si la densité d’accepteurs d’électrons vaut zéro, alors le numérateur vaut zéro, ce qui signifie que le résultat global vaut zéro et donc que la densité de trous d’électrons vaut zéro. Considérons maintenant la proposition (D), si la densité d’accepteurs d’électrons vaut zéro, alors le dénominateur vaut zéro, ce qui signifie que le résultat global qui correspond à la densité de trous d’électrons va tendre vers ∞ . Mais comme dans un semi-conducteur pur 𝑝 est égal à 𝑛, nous savons que lorsqu’un échantillon dopé devient de plus en plus pur, comme la densité d’accepteurs d’électrons se rapproche de zéro, la densité de trous d’électrons devrait simplement correspondre à la densité d’électrons libres, ce qui, comme nous l’avons établi précédemment n’est pas nul et n’est certainement pas ∞. Nous savons donc que les propositions (E) et (D) ne conviennent pas.
La proposition (C) suggère que la densité de trous d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons moins la densité d’électrons libres. La soustraction de 𝑛 signifie que la concentration d’électrons libres tend à faire diminuer la concentration de trous d’électrons. Ce n’est pas vrai. Chaque électron libre crée un trou d’électrons. La densité d’électrons libres va donc faire augmenter la densité de trous d’électrons, et pas diminuer. La proposition (C) ne convient pas non plus.
La proposition (B) suggère que la densité de trous d’électrons est égale à la densité d’électrons libres moins la densité d’accepteurs d’électrons. Cela veut dire que l’ajout d’accepteurs d’électrons va réduire la densité de trous d’électrons. Mais nous avons déjà établi que l’ajout d’accepteurs d’électrons a l’effet inverse. Cela a pour effet d’augmenter la densité de trous d’électrons. La proposition (B) ne convient donc pas.
Il nous reste donc la proposition (A), qui dit que la densité de trous d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons plus la densité d’électrons libres. Dans un échantillon dopé, le nombre total de trous d’électrons doit être égal au nombre de trous d’électrons avant dopage, plus le nombre de trous d’électrons apportés par les accepteurs d’électrons. Cela est cohérent avec la formule. Et donc, dans l’échantillon dopé, la densité de trous d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons plus la densité d’électrons libres.
