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Vidéo de question : Calcul du moment de torsion et du moment magnétique pour un fil électrique formant une boucle dans un champ magnétique uniforme Physique

La figure montre une boucle rectangulaire de fil électrique conduisant le courant entre les pôles d’un aimant. Les côtés de la boucle parallèles à la droite 𝑑₁ sont parallèles au champ magnétique, et les côtés de la boucle parallèles à la droite 𝑑₂ sont perpendiculaires au champ magnétique. Le courant dans la boucle est de 350 mA et l’intensité du champ magnétique est de 0,12 T. La longueur de 𝑑₁ = 0,025 m et la longueur de 𝑑₂ = 0,015 m. Trouvez le moment de torsion agissant sur la boucle au micronewton-mètre le plus proche. Trouvez le moment dipolaire magnétique de la boucle au micronewton-mètre par tesla le plus proche.

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Transcription de vidéo

La figure montre une boucle rectangulaire de fil électrique entre les pôles d’un aimant. Les côtés de la boucle parallèles à la ligne 𝑑 un sont parallèles au champ magnétique, et les côtés de la boucle parallèles à la ligne 𝑑 deux sont perpendiculaires au champ magnétique. Le courant dans la boucle est de 350 milliampères et l’intensité du champ magnétique est de 0,12 tesla. La longueur de 𝑑 un est égale à 0,025 mètre, et la longueur de 𝑑 deux est égale à 0,015 mètre. Trouvez le moment de torsion agissant sur la boucle au micronewton-mètre le plus proche.

En regardant notre diagramme, voici notre boucle conduisant un courant dans un champ magnétique uniforme entre les pôles de cet aimant. Parce qu’il y a du courant dans les quatre côtés de notre boucle, il y a potentiellement une force magnétique sur chacun de ces quatre côtés. Dans notre énoncé du problème cependant, on nous a dit que les deux côtés du rectangle parallèles à cette distance 𝑑 un, de sorte que ce serait ce côté ici et ce côté-là, sont tous deux parallèles au champ magnétique externe. Par conséquent, le courant dans ces deux côtés du rectangle est soi parallèle ou soi antiparallèle au champ extérieur. Et cela signifie que ces côtés du rectangle ne subissent aucune force magnétique. Ce ne sont que les deux côtés perpendiculaires à ce champ, ce côté et ce côté du rectangle, qui subissent une force magnétique non nulle.

On peut déterminer le sens de cette force sur chacun de ces côtés selon la règle de la main droite. Étant donné un fil portant un courant qu’on appellera 𝐼, dans un champ magnétique uniforme, on appellera 𝐵, puis en utilisant notre main droite, si on pointe l’index de cette main dans la direction de 𝐼 puis le majeur de cette main dans la direction de 𝐵, cela fera pointer le pouce de notre main droite dans la direction de la force magnétique résultante. Autrement dit, la force sur ce segment de fil porteur de courant sera dirigée vers l’extérieur de l’écran vers nous. Cette règle de la main droite nous permettra de déterminer la direction de la force agissant sur chaque côté de notre rectangle qui est perpendiculaire au champ magnétique externe.

Du côté du rectangle qui se trouve à gauche tel qu’on le voit, ce côté-ci, en pointant l’index de la main droite dans la direction du courant ici et le majeur de cette main dans la direction du champ magnétique externe de gauche à droite, la règle de la main droite nous dit que la direction de la force magnétique résultante est vers le bas. Considérant ensuite le côté opposé de notre rectangle, de ce côté, le courant pointe dans cette direction. Comme précédemment, le champ magnétique externe pointe de gauche à droite, de sorte que maintenant, selon notre règle de la main droite, la force sur ce segment du rectangle est vers le haut.

L’effet de ces deux forces ensemble est de créer un moment de torsion. Notre bobine aura tendance à tourner autour d’un axe passant par le centre de la boucle. C’est le moment duquel on parle dans la question. Il y a une relation mathématique pour le moment sur un fil porteur de courant dans un champ magnétique dont on peut se rappeler. Ce couple 𝜏 est égal à l’intensité du champ magnétique 𝐵 fois le courant dans le fil 𝐼 multiplié par la section transversale du fil 𝐴 fois le nombre de spires dans le fil multiplié par le sinus d’un angle que nous avons appelé 𝜃.

Avant de pouvoir calculer cette expression pour notre scénario, rappelons les informations qui nous sont données dans notre énoncé du problème. Notre boucle qui transporte le courant, on se souvient, a des dimensions 𝑑 un multipliée par 𝑑 deux. 𝑑 un est donné comme étant 0,025 mètres, alors que 𝑑 deux est 0,015 mètres. Si on devait écrire une équation spécifique alors pour le couple sur notre boucle qui transporte le courant donnée, on peut remplacer la section 𝐴 de la boucle par 𝑑 un multiplié par 𝑑 deux. Une autre information qui nous est donnée dans notre énoncé du problème est que le courant transporté par notre boucle est de 350 milliampères, ce qu’on appellera 𝐼. De plus, on nous dit que l’intensité du champ magnétique est de 0,12 tesla. On appellera cela 𝐵.

Dans cette équation pour le moment, 𝑁 majuscule, comme on l’a mentionné, indique le nombre de spires dans notre boucle. Dans ce scénario, 𝑁 est égal à un, et on peut donc le retirer de cette équation. En ce qui concerne le sin de cet angle 𝜃, on peut noter que 𝜃 est l’angle entre le champ magnétique externe et le vecteur directeur à la surface d’une boucle rectangulaire. En se basant sur la direction du courant dans la boucle, ce vecteur directeur pointe directement vers le bas. Notons que cela signifie que l’angle entre ce vecteur directeur et le champ extérieur est de 90 degrés. Lorsqu’on calcule le sinus de 90 degrés, on en obtient un. Et on peut à nouveau éliminer ce facteur. Cela n’aura aucun effet sur le moment de torsion final agissant sur la boucle.

Pour notre prochaine étape, on peut remplacer ces valeurs connues dans notre équation pour le couple. Au lieu de 𝐵, on met 0,12 tesla. A la place du courant 𝐼, au lieu de 350 milliampères, on le convertit en ampères, 0,350. Notons qu’on a déplacé la virgule de trois places vers la gauche pour passer de milliampère en ampère. Ensuite, 𝑑 un est de 0,025 mètres et 𝑑 deux est de 0,015 mètres. En notation scientifique, la réponse exacte qu’on obtient est 1,575 fois 10 puissance moins cinq newton-mètre. En termes d’unités, notons qu’un newton est un tesla-ampère-mètre.

On a donc une réponse exacte en newton-mètre. Mais notre question nous demande de donner une réponse au micronewton-mètre le plus proche. Un micronewton est un millionième de newton, ce qui signifie que si on écrit notre réponse sous la forme d’un nombre décimal, on pourrait la convertir en micronewton-mètres en déplaçant la décimale d’une, deux, trois, quatre, cinq, six places vers la droite. On a alors 15,75 micronewton-mètres. Nous y sommes presque. On a juste besoin de l’arrondir au nombre entier le plus proche. Le nombre entier le plus proche de 15,75 est 16, ce qui signifie que, au micronewton-mètre le plus proche, le moment agissant sur cette bobine est de 16 micronewton-mètres.

Maintenant, regardons la deuxième partie de notre question.

Trouver le moment dipolaire magnétique de la boucle au micronewton-mètre par tesla le plus proche.

Si on a une boucle de fil électrique, où le courant a une intensité 𝐼 et l’aire de cette boucle est appelée 𝐴, alors l’intensité du moment du dipôle magnétique de la boucle 𝜇 est égale à 𝐼 fois 𝐴. Pour résoudre 𝜇 dans notre cas, on utilisera le fait que le courant dans notre boucle rectangulaire est de 350 milliampères et que 𝑑 un et 𝑑 deux, les dimensions perpendiculaires de notre boucle rectangulaire, sont données.

En remplaçant ces valeurs dans notre équation, notons que les unités qu’on a sont des milliampères et des mètres fois des mètres, ou des mètres carrés. On veut notre réponse finale en unités de micronewton-mètres par tesla. En rappelant qu’un newton est égal à un tesla-ampère-mètre, on peut réarranger cela pour voir qu’un ampère est égal à un newton par tesla mètre. Tout cela signifie qu’on peut remplacer l’ampère ici dans notre équation par un newton par tesla mètre. Et notons que ce m dans notre équation n’est pas en fait l’unité de mètre mais le préfixe milli-. En réalité, on a des millinewtons par tesla mètres.

Et puis rappelons qu’on multiplie cette unité par les unités de mètres carrés. Lorsqu’on multiplie tous ces nombres ensemble, on obtient une valeur numérique de 0,13125, où les unités sont en millinewton-mètres par tesla. Ce ne sont pas exactement les unités de notre réponse finale. On veut qu’ils soient en micronewton-mètres par tesla. Pour convertir entre ces deux, rappelons qu’un millinewton est égal à 1000 micronewtons. Cela signifie que pour changer nos unités en micronewton-mètres par tesla de millinewton-mètres par tesla, on devra multiplier ce nombre ici par 1000. Cela nous donne un résultat de 131,25 micronewton-mètres par tesla.

Enfin, on arrondira enfin de notre réponse finale au micronewton-mètre par tesla le plus proche. En arrondissant notre réponse au nombre entier le plus proche, on trouve que le moment du dipôle magnétique de la boucle au micronewton-mètre par tesla le plus proche est 131.

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