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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble image et la période de la fonction sinus Mathématiques

Déterminez l’ensemble image et la période de la fonction 𝑓(𝜃) = (14/5) sin (4𝜃) en représentant la fonction entre 0 et 2𝜋.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble image et la période de la fonction 𝑓 de 𝜃 égale 14 sur cinq sinus de quatre 𝜃 en représentant la fonction entre zéro et deux 𝜋.

Commençons simplement par rappeler ce que nous entendons par l’ensemble image et la période d’une fonction. L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs de la variable que l’on peut entrer dans la fonction et l’ensemble image est l’ensemble des valeurs de la fonction. Ce sont toutes les valeurs possibles de 𝑓 de 𝜃 elle-même. Nous savons également que la fonction sinus est périodique. C’est-à-dire qu’elle se répète. Et sa période est la longueur de l’intervalle nécessaire pour effectuer une vague complète.

Dans cette question, nous devons représenter graphiquement la fonction entre zéro et deux 𝜋. Avant de le faire, rappelons cependant à quoi ressemble la courbe représentative de 𝑓 de 𝜃 égale sin 𝜃. Elle ressemble à peu près à ceci. Entre zéro et deux 𝜋, la courbe représentative de sin 𝜃 effectue une vague complète. Cela signifie que la période de 𝑓 de 𝜃 égale sin 𝜃 est de deux 𝜋.

Comme la courbe représentative est symétrique par rapport à 𝜃 égale 𝜋, nous voyons qu’elle coupe l’axe des abscisses en 𝜋 et qu’elle atteint un sommet, ou maximum, en 𝜋 sur deux et un minimum local en trois 𝜋 sur deux. En ces points, 𝑓 de 𝜃 est respectivement égale à un et moins un. Par conséquent, l’ensemble image de 𝑓 de 𝜃 égale sin 𝜃 va de moins un à un et sa période est de deux 𝜋.

Rappelons maintenant ce que nous savons sur les transformation de courbes représentatives. Pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑎𝑥, où 𝑎 est une constante, est une dilatation de la courbe représentative d’origine dans la direction des 𝑥 par un facteur d’échelle de un sur 𝑎. De même, la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑏 fois 𝑓 de 𝑥 est également une dilatation. Cette fois, elle est dans la direction des 𝑦. Il s’agit d’une dilatation verticale avec un facteur d’échelle de 𝑏.

Nous étudions ici la courbe représentative de 14 sur cinq fois sin de quatre 𝜃. Cela signifie qu’elle est dilatée horizontalement, dans la direction des 𝑥, par un facteur d’échelle de un sur quatre et qu’elle est dilatée verticalement par un facteur d’échelle de quatorze sur cinq. Les maximums se produiront donc lorsque 𝑓 de 𝜃 est égale à quatorze sur cinq et les minimums se produiront lorsque 𝑓 de 𝜃 est égale à moins quatorze sur cinq.

Un facteur d’échelle horizontal d’un quart signifie de plus que notre vague initiale se répète quatre fois dans le même intervalle. Cela ressemblerait à peu près à ceci. Cette fois, nous pouvons voir que l’ensemble image va de moins quatorze sur cinq à quatorze sur cinq. Et que la période est égale à un quart de la période initiale. C’est-à-dire 𝜋 sur deux. L’ensemble image de 𝑓 de 𝜃 égale 14 sur cinq sin de quatre 𝜃 est donc l’intervalle fermé de moins quatorze sur cinq à quatorze sur cinq et sa période est de 𝜋 sur deux.

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