Vidéo : Règle de L’Hôpital

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment appliquer la règle de l’Hôpital pour évaluer les limites dans les cas d’indétermination 0/0 et ∞/∞.

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Transcription de vidéo

La règle de l’Hôpital.

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer la règle de L’Hôpital pour évaluer les limites dans les cas d’indétermination zéro sur zéro, l’infini sur l’infini et moins l’infini sur moins l’infini. Nous allons voir quelques exemples sur l’utilisation de la règle de L’Hôpital.

Commençons par considérer une limite. Et c’est la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 sur sin de cinq 𝑥. Si nous voulons évaluer cette limite, nous pouvons commencer par essayer d’utiliser la substitution directe. Nous obtenons zéro sur sin de cinq fois zéro. Puisque cinq fois zéro est juste zéro, cela équivaut à zéro sur sin de zéro. Sin de zéro donne zéro. Donc, cela doit être égal à zéro sur zéro, ce qui est indéfini. Ainsi, cette limite ne peut pas être évaluée directement en utilisant une substitution directe.

En fait, aucune des techniques connues jusqu’à présent ne peut être utilisée pour évaluer cette limite. C’est ici qu’intervient la règle de L’Hôpital. La règle de L’Hôpital nous dit que si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 d’une certaine 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 égale zéro sur zéro, ou la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 égale plus ou moins l’infini sur plus ou moins l’infini. Où 𝑎 est un nombre réel quelconque, l’infini positif ou l’infini négatif. Alors, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 égale la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑔 prime de 𝑥.

Ce qu’il faut noter avec la règle de L’Hôpital c’est que, pour que cela fonctionne, 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 doivent être dérivables. Et aussi avec notre condition, quand nous disons que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 peut être égale à plus ou moins l’infini sur plus ou moins l’infini. Elle doit être égale à plus l’infini sur plus l’infini ou moins l’infini sur moins l’infini. La règle ne s’applique pas lorsque la limite est égale à plus l’infini sur moins l’infini, ou moins l’infini sur plus l’infini.

Maintenant que nous avons couvert la définition de la règle de L’Hôpital, appliquons-la à la limite que nous essayons de déterminer. C’est donc la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 sur sin de cinq 𝑥. Et nous avons vu qu’en utilisant la substitution directe, notre limite égale zéro sur zéro. Donc elle satisfait à la première condition de la règle de L’Hôpital. Nous pouvons voir que la valeur de 𝑎 dans notre limite est zéro. Puisque 𝑎 est un nombre réel, donc la limite satisfait aussi à la deuxième condition. Nous pouvons maintenant dire que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 est égale à sin de cinq 𝑥. Clairement, ces deux fonctions, 𝑓 et 𝑔, sont dérivables. Nous sommes donc prêts à appliquer la règle de L’Hôpital.

Nous devons d’abord déterminer 𝑓 prime de 𝑥 et 𝑔 prime de 𝑥. En dérivant 𝑥 par rapport à 𝑥, nous trouvons que 𝑓 prime de 𝑥 égale un. Afin de déterminer 𝑔 prime de 𝑥, nous devons dériver sin de cinq 𝑥. Celle-ci est une fonction composée. Ainsi, nous devons utiliser la règle de dérivation en chaîne. Nous dérivons la partie intérieure de la fonction — donc cinq 𝑥 — pour obtenir une constante de cinq. Ensuite, nous dérivons le sinus pour obtenir cos de cinq 𝑥, ce qui nous donne 𝑔 prime de 𝑥 est égale cinq cos de cinq 𝑥.

En appliquant la règle de L’Hôpital, on peut dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 sur sin de cinq 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un sur cinq cos de cinq 𝑥. Et maintenant, nous pouvons simplement utiliser la substitution directe. Et nous voyons que notre limite est égale à un sur cinq fois cos de cinq fois zéro. Cinq fois zéro est tout simplement zéro. Et cos de zéro est simplement un. Ainsi, nous pouvons dire que notre limite est égale à un sur cinq fois un, ce qui est simplement un cinquième.

La règle de L’Hôpital peut être très utile pour déterminer les limites des fonctions qui semblent ne pas exister. Regardons un exemple.

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sept 𝑒 à la puissance cinq 𝑥 moins sept sur moins 𝑒 à la puissance huit 𝑥 plus un.

Nous commencerons par essayer de résoudre cette limite en utilisant la substitution directe. Nous obtenons sept fois 𝑒 à la puissance cinq fois zéro moins sept sur moins 𝑒 à la puissance huit fois zéro plus un. Puisque 𝑒 à la puissance zéro égale un, nous trouvons que cela égale sept moins sept sur moins un plus un, ce qui est simplifié en zéro sur zéro. Cependant, ceci n’est pas défini. Bien que nous obtenions que notre limite soit indéfinie par substitution directe, elle est égale à zéro sur zéro. Et cela nous dit que nous pourrons peut-être utiliser la règle de L’Hôpital.

La règle de L’Hôpital nous dit que si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à zéro sur zéro, plus l’infini sur plus l’infini, ou moins l’infini sur moins l’infini. Où 𝑎 est un nombre réel, plus l’infini ou moins l’infini. Alors, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑔 prime de 𝑥.

Notre limite satisfait à la condition que notre limite soit égale à zéro sur zéro. Et puisque nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro, cela signifie que notre 𝑎 égale zéro, ce qui correspond à un nombre réel. Nous pouvons donc utiliser la règle de L’Hôpital. 𝑓 de 𝑥 est le numérateur de la fonction dont nous prenons la limite. Donc, ça fait sept 𝑒 à la puissance cinq 𝑥 moins sept. Et 𝑔 de 𝑥 est le dénominateur. Donc, cela est moins 𝑒 à la puissance huit 𝑥 plus un.

Maintenant nous devons trouver 𝑓 prime de 𝑥 et 𝑔 prime de 𝑥. Puisque nous allons dériver les termes exponentiels, nous pouvons utiliser la règle qui nous dit que la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑘𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑘 fois 𝑒 à la puissance 𝑘𝑥. Dérivons 𝑓 de 𝑥 terme par terme. Sept 𝑒 à la puissance cinq 𝑥 est un terme exponentiel. Nous allons donc utiliser la règle que nous venons d’énoncer. Notre valeur de 𝑘 est cinq. Et nous remarquons que nous avons une constante de sept qui multiplie notre terme exponentiel. Donc cela doit rester deux, nous donnant sept multiplié par cinq 𝑒 à la puissance cinq 𝑥. Donc sept fois cinq est 35. Nous pouvons donc écrire cela comme 35𝑒 à la puissance cinq 𝑥.

Le deuxième terme dans 𝑓 de 𝑥 est moins sept, qui est simplement une constante. Et lorsque nous dérivons une constante, nous obtenons simplement zéro. Nous avons donc trouvé que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 35𝑒 à la puissance cinq 𝑥. Le premier terme dans 𝑔 de 𝑥 est moins 𝑒 à la puissance huit 𝑥, ce qui est encore un terme exponentiel. En utilisant notre règle, nous obtenons que le dérivé de ce terme soit moins huit 𝑒 à la puissance huit 𝑥. Le deuxième terme dans 𝑔 de 𝑥 est un, ce qui est encore une constante. Et dérivé, ça nous donne zéro.

Nous sommes maintenant prêts à appliquer la règle de L’Hôpital. Nous obtenons que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sept 𝑒 à la puissance cinq 𝑥 moins sept sur moins 𝑒 à la puissance huit 𝑥 plus un. Est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 35 fois 𝑒 à la puissance cinq 𝑥 sur moins huit fois 𝑒 à la puissance huit 𝑥. Et nous pouvons maintenant appliquer la substitution directe, qui nous donne 35 multiplié par 𝑒 à la puissance zéro sur moins huit multiplié par 𝑒 à la puissance zéro. Puisque 𝑒 à la puissance zéro égale un, nous obtenons une solution selon laquelle notre limite doit être égale à 35 sur huit. Voyons ensuite un exemple qui répond à une condition différente de la règle de L’Hôpital.

Trouvez la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de deux fois 𝑒 à la puissance trois 𝑥 moins cinq sur trois fois 𝑒 à la puissance trois 𝑥 moins un.

Nous pouvons commencer par essayer de déterminer cette limite par substitution directe. Nous utiliserons le fait que la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de 𝑒 à la puissance 𝑥 égale à plus l’infini. On en déduit que la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de 𝑒 à la puissance trois 𝑥 est aussi égale à plus l’infini. Et cela nous dit que lorsque nous utilisons la substitution directe pour trouver notre limite, nous constatons qu’elle est égale à plus l’infini sur plus l’infini. Et ceci est indéfini. Ainsi, nous n’avons pas encore trouvé de solution.

Cependant, le fait qu’elle égale plus l’infini sur plus l’infini nous indique que nous pouvons utiliser la règle de L’Hôpital. La règle de L’Hôpital nous dit que si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à zéro sur zéro, plus l’infini sur plus l’infini ou moins l’infini sur moins l’infini. Où 𝑎 est un nombre réel, plus l’infini ou moins l’infini. Alors, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑔 prime de 𝑥.

Maintenant, notre limite est égale à l’infini sur l’infini. Et nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’infini. Ainsi, on a le droit d’utiliser la règle de L’Hôpital. Dans notre cas, 𝑓 de 𝑥 égale deux fois 𝑒 à la puissance trois 𝑥 moins cinq. Et 𝑔 de 𝑥 égale trois fois 𝑒 à la puissance trois 𝑥 moins un.

Nous trouvons 𝑓 prime et 𝑔 prime en dérivant 𝑓 et 𝑔. En dérivant deux 𝑒 à la puissance trois 𝑥 moins cinq par rapport à 𝑥, on obtient que 𝑓 prime de 𝑥 doit être égale à six 𝑒 à la puissance trois 𝑥. Et en dérivant trois fois 𝑒 à la puissance trois 𝑥 moins un par rapport à 𝑥, nous obtenons que 𝑔 prime de 𝑥 doit être égale à neuf 𝑒 à la puissance trois 𝑥. Nous obtenons que notre limite doive être égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de six fois 𝑒 à la puissance trois 𝑥 sur neuf fois 𝑒 à la puissance trois 𝑥.

Nous remarquons ici que nous avons un facteur de trois fois 𝑒 à la puissance trois 𝑥 à la fois au numérateur et au dénominateur. Puisque nous pouvons écrire notre numérateur comme deux fois trois 𝑒 à la puissance trois 𝑥, et notre dénominateur comme trois fois trois 𝑒 à la puissance trois 𝑥. Ainsi, ces facteurs de trois fois 𝑒 à la puissance trois 𝑥 s’annulent, nous laissant avec la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de deux sur trois. Comme il n’y a pas de dépendance 𝑥 dans notre limite, notre limite égale simplement deux tiers. Et c’est la solution à la question. Plusieurs différentes limites représentent des cas d’indétermination où il faut appliquer la règle de L’Hôpital. Considérons les exemples suivants.

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers un à la puissance moins 11 fois le logarithme naturel de 𝑥 sur moins neuf 𝑥 plus neuf.

Pour commencer, essayons de trouver cette limite en utilisant la substitution directe. On obtient moins 11 multiplié par le logarithme naturel de un sur moins neuf plus neuf. Nous utiliserons le fait que le logarithme naturel de un est égal à zéro. Et cela nous donne que notre limite égale zéro sur zéro, donc indéfinie. C’est cependant la principale condition à remplir pour pouvoir appliquer la règle de L’Hôpital.

C’est la règle de L’Hôpital. Et puisque notre limite égale zéro sur zéro, nous pouvons voir que nous avons répondu à la première condition. Nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers un. On peut donc dire que 𝑎 égale un. Et un est un nombre réel. Par conséquent, nous avons répondu à la deuxième condition. Et cela signifie que nous pouvons utiliser la règle de L’Hôpital. On peut dire que 𝑓 de 𝑥 est égale à moins 11 fois le logarithme naturel de 𝑥. Et 𝑔 de 𝑥 est égale à neuf 𝑥 plus neuf.

Pour dériver 𝑓 par rapport à 𝑥, nous utiliserons le fait que le dérivé du logarithme naturel de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égal à un sur 𝑥. Puisque 𝑓 de 𝑥 est une constante multipliée par le logarithme naturel de 𝑥, où la constante est égale à moins 11, nous obtenons donc que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à moins 11 sur 𝑥. Maintenant, 𝑔 de 𝑥 est égale à neuf 𝑥 plus neuf, ce qui est simplement un polynôme. Nous pouvons donc la dériver en utilisant la règle de puissance pour la dérivation, ce qui nous donne que 𝑔 prime de 𝑥 est égale à moins neuf.

Nous pouvons maintenant appliquer la formule de la règle de L’Hôpital, qui dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 égale la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑔 prime de 𝑥. Ce qui nous indique que la limite lorsque 𝑥 tend vers un à la puissance moins 11 fois le logarithme naturel de 𝑥 sur moins neuf plus neuf. Est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers un à la puissance moins 11 sur moins neuf 𝑥. Nous voyons que nous avons un facteur qui est moins un au numérateur et au dénominateur. Et ainsi, ils peuvent être annulés, ce qui nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers un à la puissance 11 sur neuf 𝑥. Et ici, nous pouvons appliquer une substitution directe, qui nous donne 11 sur neuf fois un. Cela nous donne la solution, notre limite égale 11 sur neuf.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser la règle de L’Hôpital pour trouver un autre résultat.

Etant données les fonctions 𝑓 minuscule et 𝐹 majuscule qui sont positives pour les grandes valeurs de 𝑥, nous disons que 𝐹 majuscule est prépondérante devant 𝑓 minuscule lorsque 𝑥 tend vers l’infini si la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de 𝑓 minuscule de 𝑥 sur 𝐹 majuscule de 𝑥 est égale à zéro. Utilisez la règle de L’Hôpital pour déterminer qui est prépondérant lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Le logarithme naturel de 𝑥 ou la racine carrée de 𝑥.

En utilisant la définition de prépondérance donnée dans la question, pour dire si le logarithme naturel de 𝑥 ou la racine carrée de 𝑥 sont prépondérants. Nous devons montrer que, soit la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini du logarithme naturel de 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 égale zéro. Soit la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de la racine carrée de 𝑥 sur le logarithme naturel de 𝑥 égale zéro.

Commençons par examiner la dernière de ces deux options. Nous devons trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de la racine carrée de 𝑥 sur le logarithme naturel de 𝑥. Puisque la racine carrée de 𝑥 et le logarithme naturel de 𝑥 sont tous deux des fonctions croissantes, nous savons que la limite de chacune d’elles individuellement lorsque 𝑥 tend vers plus l’infini sera plus l’infini. Ainsi, la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’infini de la racine carrée de 𝑥 sur le logarithme naturel de 𝑥 égale l’infini sur l’infini. Et ceci est indéfini. Cependant, cela nous donne la principale condition pour utiliser la règle de L’Hôpital.

La règle de L’Hôpital nous dit que si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 égale zéro sur zéro, plus l’infini sur plus l’infini ou moins l’infini sur moins l’infini. Où 𝑎 est un nombre réel, plus l’infini ou moins l’infini. Alors la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑔 prime de 𝑥.

Maintenant, puisque notre limite est égale à plus l’infini sur plus l’infini, nous avons satisfait à la première condition. Et nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’infini. Ainsi, nous avons également satisfait à la deuxième condition. Nous pouvons donc utiliser la règle de L’Hôpital.

Nous avons que 𝑓 de 𝑥 est égale à la racine carrée de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 est égale au logarithme naturel de 𝑥. La racine carrée de 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance d’un demi. Et donc, pour trouver 𝑓 prime de 𝑥, nous allons utiliser la règle de puissance pour la dérivation. Nous multiplions par la puissance et diminuons la puissance un, ce qui nous donne que 𝑓 prime de 𝑥 égale un demi fois 𝑥 à la puissance moins un demi.

Pour différencier 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥, nous utilisons le fait que le dérivé du logarithme naturel de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égal à un sur 𝑥. Et ainsi 𝑔 prime de 𝑥 est égale à un sur 𝑥. En appliquant la règle de L’Hôpital, nous trouvons que notre limite est égale à la limite puisque 𝑥 tend vers l’infini de 𝑥 à la puissance moins un demi sur deux fois un sur 𝑥.

En simplifiant, nous obtenons la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de 𝑥 sur deux fois 𝑥 à la puissance un demi. Nous pouvons maintenant annuler un facteur de 𝑥 à la puissance un demi du haut et du bas. Nous obtenons la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de 𝑥 à la puissance un demi sur deux. Et le seul terme 𝑥 ici est élevé à une puissance positive. Et il se trouve au numérateur de la fraction. Par conséquent, cette limite égale l’infini. Et donc elle n’égale pas zéro. Et nous pouvons en conclure que le logarithme naturel de 𝑥 n’est pas prépondérant devant la racine carrée de.

Voyons maintenant si la limite 𝑥 tend vers l’infini du logarithme naturel de 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 égale zéro. Or, le logarithme naturel de 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 est l’inverse de la racine carrée de 𝑥 sur le logarithme naturel de 𝑥. Et donc, lorsque nous utilisons la substitution directe pour trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini, nous allons à nouveau obtenir l’infini sur l’infini. On peut donc dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini du logarithme naturel de 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 doit être égale à l’infini sur l’infini, qui est encore indéfini. Cependant, cela nous a permis d’utiliser la règle de L’Hôpital, ces deux conditions étant remplies.

Notre limite est égale à plus l’infini sur plus l’infini. Et nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’infini. Puisque nous prenons la limite de la fonction réciproque, alors 𝑓 et 𝑔 seront inversées. Ainsi, pour notre dernière ligne de travail, nous allons simplement prendre la limite de la fonction réciproque. Et puisque la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de la racine carrée de 𝑥 sur le logarithme naturel de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de 𝑥 à la puissance un demi sur deux. Cela nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini du logarithme naturel de 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 sera égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de la réciproque de 𝑥 à la puissance un demi sur deux. Et c’est la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de deux sur 𝑥 à la puissance un demi.

Dans cette limite, notre 𝑥 est élevé à la puissance positive d’un demi. Cependant, il se trouve au dénominateur de la fraction. Et donc, si nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini, elle sera égale à zéro. Nous avons donc montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini du logarithme naturel de 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 est égale à zéro. Nous pouvons en conclure que la racine carrée de 𝑥 est prépondérante devant le logarithme naturel de 𝑥. Comme nous l’avons vu dans cet exemple, la règle de L’Hôpital peut être utile pour montrer presque tout ce qui implique une limite, puisqu’elle nous permet de déterminer des limites qui seraient autrement indéfinies.

Nous avons maintenant vu une variété d’exemples impliquant la règle de L’Hôpital. Regardons quelques points clés de la vidéo. Points clés. La règle de L’Hôpital peut être utilisée pour déterminer les limites dans les cas d’indétermination zéro sur zéro, plus l’infini sur plus l’infini et moins l’infini sur moins l’infini. La règle de L’Hôpital est la suivante. Supposons que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 égale zéro sur zéro. Ou la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 égale plus l’infini ou moins l’infini sur plus l’infini ou moins l’infini. Où 𝑎 est un nombre réel quelconque, plus l’infini ou moins l’infini. Alors, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑔 prime de 𝑥.

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