Vidéo : Intégrales indéfinies : fonctions exponentielles et réciproques

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver l’intégrale indéfinie des fonctions exponentielles et réciproques (1/𝑥).

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver des intégrales indéfinies de fonctions exponentielles et réciproques. Nous commencerons par rappeler la première partie du théorème fondamental de l’analyse avant de voir comment cela nous aide à intégrer les fonctions exponentielles de la forme 𝑒 à la puissance 𝑥 et les fonctions réciproques de la forme 𝑎 sur 𝑥.

Nous commençons par énoncer la première partie du théorème fondamental de l’analyse. Soit 𝑓 une fonction continue à valeurs réelles définie sur un intervalle fermé 𝑎 à 𝑏. On pose alors grand 𝐹 la fonction définie pour tout 𝑥 dans cet intervalle fermé par grand 𝐹 de 𝑥 égal à l’intégrale évaluée entre 𝑎 et 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 par rapport à 𝑡. Ensuite, grand 𝐹 est uniformément continu sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏 et dérivable sur l’intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏 de telle sorte que grand 𝐹 prime de 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥 pour tout 𝑥 dans l’intervalle ouvert 𝑎 à 𝑏. En d’autres termes, grand 𝐹 est la primitive d’une fonction 𝑓, la fonction dont la dérivée est égale à la fonction d’origine.

Et essentiellement, tout cela nous dit que l’intégration est le processus inverse de la dérivation. Commençons donc par regarder la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 à la puissance 𝑥. Eh bien, nous savons que la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 est simplement 𝑒 à la puissance 𝑥. Ainsi, la primitive de 𝑒 à la puissance 𝑥 est également 𝑒 à la puissance 𝑥. Et nous pouvons donc dire que l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑥 évaluée par rapport à 𝑥 deux est 𝑒 à la puissance 𝑥. Et bien sûr, puisque nous travaillons avec une intégrale indéfinie, nous ajoutons cette constante d’intégration. Appelons cela 𝑐.

Mais qu’en est-il de l’intégration d’une fonction 𝑎 à la puissance 𝑥 pour une vraie constante 𝑎 ? Eh bien, encore une fois, nous pensons aux produits dérivés. Et nous rappelons le fait que la dérivée de 𝑎 à la puissance 𝑥 est 𝑎 à la puissance 𝑥 fois le logarithme naturel de 𝑎. On peut donc dire que l’intégrale indéfinie de 𝑎 à la puissance 𝑥 fois le logarithme naturel de 𝑎 est égale à 𝑎 à la puissance 𝑥, puisque c’est sa primitive. Encore une fois, nous travaillons avec une intégrale indéfinie, nous ajoutons donc une constante d’intégration 𝑐.

Mais ce n’est pas tout à fait ce que nous recherchons. Nous voulions évaluer l’intégrale de 𝑎 de la puissance 𝑥. Donc, nous prenons cette constante, le logarithme naturel de 𝑎, en dehors de notre intégrale. Et puis, nous divisons les deux côtés par le logarithme naturel de 𝑎. Et nous avons obtenu l’intégrale de 𝑎 à la puissance 𝑥 être 𝑎 à la puissance 𝑥 sur le logarithme naturel de 𝑎 plus 𝐶. Notez également que j’ai écrit cette constante en tant que grand 𝐶. C’est pour démontrer que nous avons divisé notre constante d’origine par une autre constante, changeant ainsi ce nombre. Maintenant, il est utile de savoir d’où viennent ces résultats, mais en général, c’est bien de les énoncer. Nous allons maintenant regarder quelques exemples démontrant l’intégration de ces fonctions exponentielles.

Déterminez l’intégrale indéfinie de huit 𝑒 de trois 𝑥 moins 𝑒 de deux 𝑥 plus neuf sur sept 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥.

Maintenant, cette question peut sembler vraiment désagréable, et vous pourriez commencer à réfléchir à la façon dont une substitution pourrait aider. Cependant, il est important de noter que nous pouvons simplifier l’intégrande en divisant simplement chaque partie du numérateur par sept 𝑒 à la puissance 𝑥, en nous souvenant que nous pouvons alors simplement soustraire les exposants. Lorsque nous le faisons, nous nous retrouvons avec l’intégrale indéfinie de huit-septièmes 𝑒 de deux 𝑥 moins un septième 𝑒 de 𝑥 plus neuf-septièmes 𝑒 de moins 𝑥.

Ensuite, nous rappelons que nous pouvons séparer cette intégrale. L’intégrale de la somme d’un certain nombre de fonctions est égale à la somme des intégrales de chaque fonction. Et nous pouvons également prendre tous les facteurs constants en dehors de l’intégrale et les traiter plus tard. Donc, nous regardons les huit-septièmes de l’intégrale de 𝑒 de deux 𝑥 par rapport à 𝑥 moins un septième de l’intégrale de 𝑒 au 𝑥 par rapport à 𝑥 plus les neuf septièmes de l’intégrale de 𝑒 à la puissance moins 𝑥 par rapport à 𝑥. D’accord, et ensuite ?

Eh bien, nous savons que l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥 plus 𝑐. Mais qu’en est-il de l’intégrale de 𝑒 de la puissance deux 𝑥 ? Vous voudrez peut-être faire une prédiction de ce que vous pensez que cela donnera. Et il y a un résultat standard que nous pouvons citer. Mais regardons cette dérivation en utilisant l’intégration par changement de variable. Nous allons poser 𝑢 égal à deux 𝑥. Donc, d𝑢 par d𝑥 est égal à deux. Maintenant, nous savons que d𝑢 par d𝑥 n’est absolument pas une fraction, mais nous pouvons le traiter un peu comme un aux fins de l’intégration par changement de variable. Et nous voyons qu’un demi d𝑢 est égal à d𝑥.

Et puis, nous voyons que nous pouvons simplement remplacer deux 𝑥 par 𝑢 et d𝑥 par un demi d𝑢 puis retirer ce facteur de moitié. Et tout ce que nous devons faire maintenant est d’intégrer 𝑒 de 𝑢 par rapport à 𝑢. Eh bien, c’est simplement un demi fois 𝑒 à la puissance 𝑢. Mais bien sûr, puisque 𝑢 est égal à deux 𝑥, on peut dire que l’intégrale indéfinie de 𝑒 à la puissance deux 𝑥 est un demi fois 𝑒 à la puissance deux 𝑥 plus une constante d’intégration. Appelons cela 𝐴. Et c’est génial car cela nous donne le résultat général pour l’intégrale de 𝑒 la puissance 𝑎𝑥 pour les constantes réelles 𝑎. C’est une 𝑎 fois 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥.

Nous pouvons utiliser ce résultat. Et nous voyons que l’intégrale de 𝑒 à la puissance moins 𝑥 est un sur moins un fois 𝑒 à la puissance moins 𝑥 plus 𝑐. Donc, en faisant tout cela, nous voyons que notre intégrale indéfinie est huit-septièmes fois demi- 𝑒 de deux 𝑥 plus 𝐴 moins une septième fois 𝑒 à 𝑥 plus 𝐵 plus neuf-septièmes fois un fois un fois moins 𝑒 à la puissance moins 𝑥 plus 𝐶. En distribuant nos parenthèses et en combinant toutes nos constantes, nous nous retrouvons avec la solution comme étant de quatre septièmes 𝑒 à la puissance deux 𝑥 moins 𝑒 à la puissance 𝑥 sur sept moins neuf-septièmes 𝑒 à la puissance moins 𝑥 plus 𝐷.

Cet exemple a très bien démontré que si nous pouvons obtenir l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 à partir du résultat général pour 𝑒 de la puissance 𝑥 et une substitution intelligente. Il est beaucoup plus judicieux d’utiliser le résultat donné. C’est l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est une sur over fois 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 plus 𝑐. On peut même généraliser davantage et dire que l’intégrale de 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥 plus 𝑏 est 𝑒 la puissance 𝑎𝑥 plus 𝑏 sur 𝑎.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment une substitution peut nous aider à obtenir le résultat de l’intégrale de 𝑎 à la puissance 𝑏𝑥, où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes réelles.

Déterminez l’intégrale de deux à la puissance neuf 𝑥 par rapport à 𝑥.

Commençons par citer ce que nous savons de l’intégrale de 𝑎 à la puissance 𝑥. C’est 𝑎 à la puissance 𝑥 divisé par le logarithme naturel de 𝑎. Notre intégrale est cependant légèrement différente ; c’est une constante de la puissance d’un autre temps constant 𝑥. Donc, nous allons utiliser le processus pour introduire quelque chose de nouveau, une nouvelle lettre. Supposons que 𝑢 soit égal à neuf 𝑥, ce qui est bien sûr appelé intégration par changement de variable. On obtient la dérivée de d𝑢 par rapport à 𝑥 égale à neuf. Maintenant, rappelez-vous, d𝑢 par d𝑥 n’est absolument pas une fraction, mais nous pouvons le traiter un peu comme un aux fins de l’intégration par changement de variable. Et nous voyons que nous pouvons dire qu’un neuvième d𝑢 est égal à d𝑥.

Nous remplaçons 𝑢 par neuf 𝑥 et d𝑥 par un neuvième d𝑢. Et puis, on retire ce facteur constant d’un neuvième. Et nous voyons que notre intégrale est maintenant un neuvième de l’intégrale de deux à la puissance 𝑢 par rapport à 𝑢. Eh bien, l’intégrale de deux à la puissance 𝑢 est de deux à la puissance 𝑢 sur le logarithme naturel de deux. Et puis, bien sûr, nous pouvons utiliser la définition de notre substitution et remplacer 𝑢 par neuf 𝑥. Et nous avons trouvé l’intégrale de deux à la puissance neuf 𝑥 par rapport à 𝑥. C’est deux à la puissance neuf 𝑥 plus neuf fois le logarithme naturel de deux plus cette constante d’intégration 𝐶, que j’ai fait un grand 𝐶 pour montrer qu’elle est différente de la valeur que nous avions auparavant.

Cet exemple nous donne un résultat général pour l’intégration de 𝑎 à la puissance 𝑏𝑥 pour les constantes réelles 𝑎 et 𝑏. C’est 𝑎 à la puissance 𝑏𝑥 sur 𝑏 fois le logarithme naturel de 𝑎 plus cette constante d’intégration 𝐶. Nous allons maintenant considérer quelques réciproques. Autrement dit, les fonctions de la forme 𝑎 sur 𝑥. Maintenant, vous pourriez initialement penser que c’est assez simple. Nous pouvons réécrire cette fonction en 𝑎 fois 𝑥 à la puissance moins un et partir de là. Mais voyons ce qui se passe lorsque nous utilisons la règle de puissance pour l’intégration.

Nous en ajoutons un à la puissance. Cela nous donne 𝑥 à la puissance zéro. Et puis, nous divisons par zéro. Mais nous ne pouvons pas faire ça. Cela nous donne un nombre qui n’est pas défini. Alors, que pouvons-nous faire d’autre ? Eh bien, encore une fois, nous allons considérer une dérivée. Nous rappelons la dérivée du logarithme naturel de 𝑥 comme étant un sur 𝑥. Et cela nous amène très bien au résultat que l’intégrale de l’un sur 𝑥 est le logarithme naturel de 𝑥.

Mais en réalité, nous devons redéfinir cela un peu. Le logarithme naturel de 𝑥 ne peut prendre que des valeurs positives réelles de 𝑥 est supérieur à zéro. Donc, nous pouvons plutôt dire que l’intégrale de un sur 𝑥 pour les valeurs non nulles de 𝑥 est le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥. Et bien sûr, nous avons cette constante d’intégration 𝑐. En généralisant pour 𝑎 sur 𝑥, nous constatons que l’intégrale de 𝑎 sur 𝑥 est 𝑎 fois le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑐, bien sûr.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins deux sur sept 𝑥 d𝑥.

Nous allons commencer par supprimer le facteur constant de cette expression. Et cela nous donne moins deux-septièmes fois l’intégrale d’un sur 𝑥 d𝑥. On cite ensuite le résultat général pour l’intégrale de un sur 𝑥. C’est le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥. Et ainsi, nous obtenons que notre intégrale soit moins deux-septièmes fois le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑐. Enfin, nous distribuons nos parenthèses. Et nous constatons que la solution à cette question est moins deux-septièmes fois le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus grand 𝐶.

Et remarquez ici que j’ai écrit de grand 𝐶 pour démontrer que la constante d’origine a été multipliée par les moins deux septièmes, la modifiant ainsi. Il est utile de se rappeler que nous pouvons réellement vérifier notre solution en effectuant le processus inverse, en dérivant. La dérivée du logarithme naturel de 𝑥 est, bien sûr 𝑥, une sur 𝑥. Ainsi, la dérivée de moins deux-septièmes fois du logarithme naturel de 𝑥 est moins deux-septièmes fois une sur 𝑥. Et la dérivée d’une constante 𝐶 est nulle. En multipliant, et nous nous retrouvons avec notre dérivée moins deux sur sept, comme requis.

Trouver, si possible, une primitive 𝐹 de 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur deux 𝑥 moins un qui remplit les conditions grand 𝐹 de zéro est un et grand 𝐹 de un est moins un.

Une autre façon de penser la primitive consiste à évaluer l’intégrale indéfinie. Donc, ce que nous allons réellement faire, c’est intégrer un sur deux 𝑥 moins un par rapport à 𝑥 et considérer les conditions à ce sujet dans un instant. Pour intégrer un sur deux 𝑥 moins un, nous allons utiliser une substitution. Nous allons poser 𝑢 égal à deux 𝑥 moins un, ce qui signifie que d𝑢 par d𝑥 est égal à deux. Maintenant, nous savons que d𝑢 par d𝑥 n’est pas une fraction, mais nous le traitons un peu comme un aux fins de l’intégration par changement de variable et disons qu’un demi d𝑢 est égal à d𝑥.

Faisons quelques substitutions. Nous remplaçons deux 𝑥 moins un par 𝑢 et d𝑥 par un demi d𝑢. Et nous pouvons, bien sûr, supprimer le facteur constant de la moitié, et nous avons la moitié de l’intégrale de un sur 𝑢. Eh bien, rappelez-vous, l’intégrale de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥. Ainsi, nous pouvons dire que l’intégrale de un sur deux 𝑥 moins un d𝑥 est la moitié du logarithme naturel de 𝑢 plus 𝑐. Nous remplaçons 𝑢 par deux 𝑥 moins un, et nous avons obtenu notre primitive. En répartissant les parenthèses, nous voyons que la primitive 𝑓 est égal à la moitié du logarithme naturel de deux 𝑥 moins un plus grand 𝐶.

Nous allons maintenant examiner les conditions. Mais nous rappelons également que deux 𝑥 moins un ne peuvent pas être égaux à zéro. Donc, nous allons en fait avoir une fonction par morceaux pour notre primitive. La première partie de la fonction qui nous intéresse est lorsque deux 𝑥 moins un est supérieur à zéro. Résoudre pour 𝑥, et nous obtenons que 𝑥 soit supérieur à un demi. La seconde est quand un moins deux 𝑥 est supérieur à zéro. Résoudre pour 𝑥 cette fois, et nous obtenons que 𝑥 soit inférieur à un demi. Libérons de l’espace et formalisons cela.

Nous avons actuellement que notre primitive, grand 𝐹 de 𝑥, est égal à la moitié du logarithme naturel de un moins deux 𝑥 plus une constante lorsque 𝑥 est inférieur à la moitié, et à la moitié du logarithme naturel de deux 𝑥 moins un plus une constante lorsque 𝑥 est supérieur à un demi. Nous allons maintenant utiliser nos conditions sur la primitive pour évaluer 𝑐. Le premier est grand 𝐹 de zéro égal à un. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝐹 est égal à un.

Puisque 𝑥 est inférieur à la moitié, nous allons utiliser la première partie de notre fonction. Nous substituons 𝑥 est égal à zéro et grand 𝐹 est égal à un pouce. Et nous obtenons un égal à la moitié du logarithme naturel de un moins deux fois zéro. Eh bien, le logarithme naturel de un moins deux fois zéro est le logarithme naturel de un, qui est bien sûr zéro. Donc, nous obtenons 𝑐 ici pour en être un.

La deuxième condition que nous avons est que lorsque 𝑥 est égal à un, grand 𝐹 est égal à moins un. Cette fois, 𝑥 est supérieur à la moitié, nous allons donc utiliser la deuxième partie de la fonction. Nous voyons que moins un est égal à la moitié du logarithme naturel de deux fois un moins un plus 𝑐. Encore une fois, le logarithme naturel de deux fois un moins un est nul. Donc, nous voyons que 𝑐 dans la deuxième partie est égal à moins un. Et donc, la primitive grand 𝐹 existe bel et bien. Telle que grand 𝐹 de 𝑥 est égal à la moitié du logarithme naturel d’un moins deux 𝑥 plus un pour 𝑥 est inférieur à la moitié et une fois et demie le logarithme naturel de deux 𝑥 moins un moins un pour 𝑥 est supérieur à un demi.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser la première partie du théorème fondamental de l’analyse pour intégrer des fonctions réciproques exponentielles. Nous avons vu que l’intégrale de 𝑒 la puissance 𝑎𝑥 est égale à une sur 𝑎 fois 𝑒 à la puissance 𝑎𝑥. L’intégrale de 𝑎 à la puissance 𝑏𝑥 est 𝑎 à la puissance 𝑏𝑥 sur 𝑏 fois le logarithme naturel de 𝑎. Et l’intégrale de 𝑎 sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑎 fois le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥, étant donné que 𝑥 n’est pas égal à zéro. Et bien sûr, puisque nous travaillons avec des intégrales indéfinies, nous devons supposer que nous avons cette constante d’intégration 𝑐 à chaque fois.

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