Vidéo de la leçon: Factorisation par groupement Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment factoriser les expressions par groupement.

Commençons par revenir sur l’idée de factoriser une expression en identifiant son plus grand commun diviseur. En regardant l’expression trois 𝑥 plus neuf 𝑦 moins six, nous voyons que chaque terme est divisible par trois. Cela signifie que trois est un facteur commun de l’expression, et nous pouvons le prendre en dehors de nos parenthèses. Trois 𝑥 plus neuf 𝑦 moins six peuvent être réécrits comme trois multiplié par 𝑥 plus trois 𝑦 moins deux. Puisque les termes entre parenthèses n’ont pas de facteurs communs à part un, nous pouvons conclure que trois est le plus grand commun diviseur et que l’expression est maintenant sous sa forme la plus simplifiée.

Considérons maintenant un deuxième exemple où l’expression entière n’a pas de facteur commun à part un. On peut donc commencer par regrouper des paires de termes. Les termes deux et deux 𝑥 ont un diviseur commun de deux. On peut donc réécrire ceci comme deux multiplié par un plus 𝑥. Les termes 𝑦 et 𝑥𝑦 ont un facteur commun de 𝑦. Par conséquent, cela peut être réécrit comme 𝑦 multiplié par un plus 𝑥. On peut donc réécrire l’expression originale comme indiqué.

À ce stade, nous remarquons que nos deux termes ont un facteur commun un plus 𝑥. En factorisant cela, nous pouvons réécrire l’expression comme un plus 𝑥 multiplié par deux plus 𝑦. L’expression deux plus deux 𝑥 plus 𝑦 plus 𝑥𝑦 est donc égale à un plus 𝑥 multiplié par deux plus 𝑦. Nous pourrions vérifier cette réponse en distribuant nos parenthèses en utilisant la méthode FOIL. Nous allons maintenant généraliser la méthode utilisée dans cet exemple pour nous aider à factoriser par groupement.

Si nous avons une expression avec un nombre pair de termes qui ne partagent pas tous un facteur commun, alors dans certaines situations, nous pouvons appliquer l’approche suivante pour factoriser complètement l’expression. Tout d’abord, nous regroupons les termes en paires qui partagent chacune un facteur commun. Deuxièmement, nous factorisons le facteur commun de chaque paire. Enfin, nous factorisons complètement l’expression en identifiant un facteur commun dans les termes factorisés.

Prenons maintenant un autre exemple où nous pouvons appliquer cette méthode.

Factorisez complètement 𝑧𝑏 moins 𝑧𝑥 plus 𝑏 moins 𝑥.

L’expression dans cette question n’a pas de facteur commun plus grand que un, donc nous ne pouvons pas factoriser directement tout cela. Cependant, nous pouvons le factoriser en regroupant des paires de termes avec des facteurs communs. Par exemple, le premier et le troisième termes ont un facteur commun de 𝑏, et le deuxième et le quatrième termes ont un facteur commun de moins 𝑥. En réécrivant l’expression comme indiqué, nous commençons par supprimer ces facteurs communs. 𝑧𝑏 plus 𝑏 peut être réécrit comme 𝑏 multiplié par 𝑧 plus un, et moins 𝑧𝑥 moins 𝑥 peut être réécrit comme moins 𝑥 multiplié par 𝑧 plus un.

Nous avons maintenant une expression où le terme entre parenthèses, 𝑧 plus un, est commun. En factorisant cela, on obtient 𝑧 plus un multiplié par 𝑏 moins 𝑥. Et comme cette expression ne peut pas être factorisée davantage, elle est sous sa forme entièrement simplifiée. L’expression 𝑧𝑏 moins 𝑧𝑥 plus 𝑏 moins 𝑥 factorisée complètement est 𝑧 plus un multiplié par 𝑏 moins 𝑥.

Il convient de noter que nous aurions pu regrouper différentes paires de termes dans l’expression originale. Par exemple, les deux premiers termes de l’expression initiale ont un facteur commun de 𝑧. Nous pouvons donc les réécrire comme 𝑧 multiplié par 𝑏 moins 𝑥. Le troisième et le quatrième termes ont un diviseur commun égal à un. Nous pouvons donc réécrire 𝑏 moins 𝑥 comme un multiplié par 𝑏 moins 𝑥. À ce stade, puisque 𝑏 moins 𝑥 est commun, nous pouvons factoriser cela en nous donnant 𝑏 moins 𝑥 multiplié par 𝑧 plus un. Et puisque la multiplication est commutative, c’est la même expression que nous avons trouvée en utilisant la première méthode.

Nous allons maintenant considérer un exemple plus compliqué de ce type.

Factorisez complètement neuf 𝑥𝑚 moins quatre 𝑙𝑧 plus quatre 𝑙𝑥 moins neuf 𝑚𝑧.

Dans l’expression donnée, il n’y a pas de facteur commun parmi les quatre termes, à part un. Et nous allons donc factoriser l’expression en regroupant des paires de termes. Si nous considérons le premier et le dernier termes, nous notons qu’ils ont un diviseur commun de neuf 𝑚. Nous pouvons donc en tenir compte. Neuf 𝑥𝑚 moins neuf 𝑚𝑧 peut être réécrit comme neuf 𝑚 multiplié par 𝑥 moins 𝑧. Nous pouvons utiliser la même méthode pour regrouper le deuxième et le troisième termes. Ceux-ci ont un facteur commun de quatre 𝑙. Moins quatre 𝑙𝑧 plus quatre 𝑙𝑥 peut être réécrit comme quatre 𝑙 multiplié par moins 𝑧 plus 𝑥. En modifiant l’ordre des termes entre parenthèses, nous avons quatre 𝑙 multiplié par 𝑥 moins 𝑧.

Nous avons maintenant une forme équivalente à l’expression originale. À ce stade, nos deux termes ont un facteur commun de 𝑥 moins 𝑧. En factorisant cela, nous avons 𝑥 moins 𝑧 multiplié par neuf 𝑚 plus quatre 𝑙. C’est la forme complètement factorisée de neuf 𝑥𝑚 moins quatre 𝑙𝑧 plus quatre 𝑙𝑥 moins neuf 𝑚𝑧.

Bien que cela ne soit pas requis dans cette question, nous pourrions vérifier notre réponse en distribuant les parenthèses en utilisant la méthode FOIL. La multiplication des premiers termes nous donne neuf 𝑥𝑚. La multiplication des termes extérieurs nous donne quatre 𝑙𝑥. Les termes intérieurs ont un produit de moins neuf 𝑚𝑧. Et les derniers termes se multiplient pour nous donner moins quatre 𝑙𝑧. C’est la même expression que dans la question.

Jusqu’à présent, dans cette vidéo, nous avons considéré des expressions où aucune variable n’a été élevée à une puissance. Parfois, nous pouvons également factoriser des expressions du second degré ou des expressions cubiques en regroupant des termes que nous pouvons factoriser. Voyons maintenant quelques situations spécifiques où c’est le cas.

Factorisez complètement 𝑥 au cube moins deux 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 moins 10.

La première chose que nous remarquons est que l’expression est cubique puisque le plus grand exposant d’une variable est trois. Normalement, il n’y aurait pas de moyen facile de factoriser complètement cette expression. Mais nous remarquons qu’il existe un rapport commun entre les coefficients des deux premiers termes et des deux derniers termes. Dans les deux premiers termes, ce rapport est un à moins deux. Et dans les deux derniers termes, le rapport est cinq à moins 10, ce qui se simplifie à un à moins deux. Cela suggère que nous pourrions factoriser l’expression en regroupant les deux premiers et les deux derniers termes.

Le plus grand commun diviseur 𝑥 au cube et moins deux 𝑥 au carré est 𝑥 au carré. Et de ce fait, factoriser 𝑥 au cube moins deux 𝑥 au carré nous donne 𝑥 au carré multiplié par 𝑥 moins deux. Le plus grand commun diviseur de cinq 𝑥 et moins 10 est cinq. Et nous pouvons réécrire cinq 𝑥 moins 10 comme cinq fois 𝑥 moins deux. Cela signifie que nous pouvons réécrire l’expression originale comme indiqué.

Nous avons maintenant deux termes avec un diviseur commun de 𝑥 moins deux. En factorisant cela, on obtient 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 au carré plus cinq. Comme la multiplication est commutative, nous pouvons la réécrire comme 𝑥 au carré plus cinq multiplié par 𝑥 moins deux, ce qui est la forme complètement factorisée de 𝑥 au cube moins deux 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 moins 10. Il convient de noter que nous pouvons vérifier cette réponse en distribuant nos parenthèses en utilisant la méthode FOIL, ce qui nous donnerait l’expression dans la question.

Avant de regarder un dernier exemple, rappelons deux types spéciaux d’expressions cubiques. Tout d’abord, nous rappelons la forme factorisée de la somme de deux cubes 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube. Ceci est égal à 𝑎 plus 𝑏 multiplié par 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Nous rappelons également la forme factorisée de la différence de deux cubes. 𝑎 au cube moins 𝑏 au cube est égal à 𝑎 moins 𝑏 multiplié par 𝑎 au carré plus 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Dans notre dernier exemple, une partie de notre expression peut être factorisée en utilisant l’une de ces formules.

Factorisez complètement 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube plus 𝑎 plus 𝑏.

Pour factoriser cette expression, nous commençons par remarquer que les deux premiers termes sont la somme de deux cubes. Nous rappelons que 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube est égal à 𝑎 plus 𝑏 multiplié par 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré. Cela signifie que nous pouvons réécrire l’expression 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube plus 𝑎 plus 𝑏 comme indiqué. Notant que 𝑎 plus 𝑏 peut être réécrit comme un multiplié par 𝑎 plus 𝑏, il est clair que nos deux termes ont un facteur commun de 𝑎 plus 𝑏. En factorisant cela, on obtient 𝑎 plus 𝑏 multiplié par 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré plus un.

Et comme l’expression dans les secondes parenthèses ne peut pas être factorisée davantage, nous avons la forme complètement factorisée de 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube plus 𝑎 plus 𝑏. Ceci est égal à 𝑎 plus 𝑏 multiplié par 𝑎 au carré moins 𝑎𝑏 plus 𝑏 au carré plus un. Et nous pourrions vérifier cette réponse en redistribuant les parenthèses.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. Nous avons vu dans cette vidéo que nous pouvons factoriser les expressions qui n’ont pas de facteur commun en les regroupant en paires qui partagent des facteurs communs. Nous avons également vu que nous pouvons factoriser les expressions cubiques qui ont un rapport partagé entre les coefficients des termes en utilisant la factorisation par groupement. Enfin, nous avons vu que si nous pouvons appliquer une formule de factorisation à une partie d’une expression - telle que la somme ou la différence de cubes, la différence de carrés ou les trinômes carrés parfaits - nous pouvons alors regrouper cette expression et la factoriser séparément.