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Vidéo de question : Déterminer un certain terme dans un développement d’un binôme Mathématiques

Déterminez le terme 𝑎₄ dans le développement de (5/√ (𝑥) + √ (𝑥)/5)⁹.

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Transcription de vidéo

Déterminez le quatrième terme dans le développement de cinq sur la racine 𝑥 plus la racine 𝑥 sur cinq à la puissance neuf.

Donc, ce que nous pouvons utiliser ici est le développement de binôme de Newton et nous avons une forme générale pour cela. Si nous avons 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛, alors nous pouvons dire que si nous développons cela, c’est 𝑛 parmi zéro 𝑎 à la puissance 𝑛 𝑏 à la puissance zéro plus 𝑛 parmi un 𝑎 à la puissance de 𝑛 moins un 𝑏 à la puissance un et ainsi de suite jusqu’à 𝑛 parmi 𝑛 𝑎 à la puissance zéro 𝑏 à la puissance 𝑛. Donc, ce qui se passe est le premier terme, vous pouvez voir que, en fait, l’exposant diminue de un à chaque fois. Et pour le deuxième terme, l’exposant augmente de un à chaque fois.

Donc, dans notre question, ce que nous recherchons est 𝑎 quatre qui est le quatrième terme. Eh bien, nous pourrions le faire de deux façons. Si nous regardons notre forme générale pour le développement du binôme, nous pourrions voir que pour le premier terme, c’est 𝑛 parmi zéro 𝑎 à la puissance 𝑛 𝑏 à la puissance zéro. Ensuite, le deuxième terme est 𝑛 parmi un 𝑎 à la puissance 𝑛 moins un 𝑏 à la puissance un. Eh bien, si nous regardons notre 𝑛 parmi zéro et 𝑛 parmi un, alors notre 𝑛 va être neuf parce que c’est la puissance à laquelle les parenthèses sont élevées. Donc, nous en avons neuf. Ensuite, nous avons choisi trois. Et c’est parce que le nombre inférieur est toujours un de moins que le nombre de termes. Et puis, nous allons avoir 𝑎 à la puissance six. C’est parce que si nous regardons le développement, le premier 𝑎 serait 𝑎 à la puissance neuf. Ensuite, nous aurions 𝑎 à la puissance huit, puis deux de moins serait 𝑎 à la puissance six. Puis, nous allons avoir 𝑏 à la puissance trois. Et c’est parce que l’exposant ou la puissance de 𝑏 est toujours inférieur de un à la valeur du terme. De même, pour vérifier rapidement, si vous ajoutez les exposants, ils doivent avoir une somme de 𝑛. Donc, six plus trois est neuf, oui, et 𝑛 est neuf, génial.

Alors maintenant, appliquons ceci à notre développement pour savoir quel sera le quatrième terme. Donc, si nous identifions notre 𝑎 et notre 𝑏, notre 𝑎 est cinq sur racine 𝑥 et notre 𝑏 est racine 𝑥 sur cinq. Donc, ce que nous allons avoir est 𝑎 quatre ou le quatrième terme est égal à neuf parmi trois multiplié par cinq sur racine 𝑥 le tout à la puissance six multiplié par racine 𝑥 sur cinq le tout à la puissance trois.

Donc, tout d’abord, nous voulons déterminer quelle est la valeur de neuf parmi trois. Eh bien, neuf parmi trois est égal à 84. Et pour savoir ce que nous pouvons faire avec notre calculatrice, nous appuyons sur neuf. Et puis, il y a un bouton nCr que vous trouverez. Souvent, vous devez appuyer sur Shift, puis sur un bouton pour trouver nCr, puis trois. Et cela nous donnera 84. Ensuite, ce que j’ai fait pour les deux autres termes, c’est que je les ai changés en forme d’exposant. Donc, nous avons cinq 𝑥 à la puissance moins un demi le tout à la puissance six multiplié par 𝑥 à la puissance un demi sur cinq le tout à la puissance trois. Et nous avons obtenu cela en utilisant quelques règles d’exposant. C’est que si nous avons 𝑥 à la puissance un demi, c’est égal à la racine 𝑥. Et si vous avez 𝑥 à la puissance moins un, c’est égal à un sur 𝑥.

Alors, ce que nous avons est le quatrième terme est égal à 84 multiplié par 15625𝑥 à la puissance moins trois. Et c’est parce que nous avons élevé cinq à la puissance six, soit 15625. Puis, nous avons 𝑥 à la puissance moins un demi. Bon, si nous élevons ceci à la puissance six, alors nous multiplions les exposants et nous obtenons moins trois. Ensuite, ceci est multiplié par 𝑥 à la puissance trois sur deux sur 125. Et comme nous l’avons déjà dit, c’est parce que nous avons utilisé une autre règle de nos règles d’exposant. Et c’est-à-dire que, si vous avez 𝑥 à la puissance 𝑎 à la puissance 𝑏, alors tout ce que nous faisons est de multiplier les exposants. Donc, nous obtenons 𝑥 à la puissance 𝑎𝑏.

D’accord, super. Alors maintenant, ce que nous devons faire est une autre étape de simplification. Donc tout d’abord, nous allons obtenir 10500. Et c’est parce que c’est 84 fois 15625 divisé par 125. Et puis, nous aurons 𝑥 à la puissance moins trois sur deux ou moins trois demis. C’est parce que nous utilisons une autre règle de règles d’exposant. Et c’est si nous avons 𝑥 à la puissance 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Et si nous avons moins trois et que nous ajoutons trois sur deux ou un et demi, nous obtiendrons moins trois sur deux.

Nous pouvons donc dire que le quatrième terme de notre développement sera 10500𝑥 à la puissance moins trois sur deux.

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