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Vidéo de question : Identifier les coordonnées d’un point dans un repère quelconque Mathématiques

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme et les points 𝐼, 𝐽, 𝐾 et 𝐿 sont les milieux respectifs des segments 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 et 𝐷𝐴. Déterminez les coordonnées du point 𝐶 dans chacun des repères suivants : le repère (𝐴 ; 𝐵, 𝐷), le repère (𝐶 ; 𝐷, 𝐵), le repère (𝐿 ; 𝐽, 𝐷), le repère (𝐴 ; 𝐼, 𝐿).

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Transcription de vidéo

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme et les points 𝐼, 𝐽, 𝐾 et 𝐿 sont les milieux respectifs des segments 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 et 𝐷𝐴. Déterminez les coordonnées du point 𝐶 dans chacun des repères suivants : le repère 𝐴 ; 𝐵, 𝐷, le repère 𝐶 ; 𝐷, 𝐵, le repère 𝐿 ; 𝐽, 𝐷 et le repère 𝐴 ; 𝐼, 𝐿.

Comme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, alors ce système de coordonnées est un repère quelconque. Par conséquent, les quatre repères que nous devons étudier sont également quelconques. Les axes des abscisses et des ordonnées de chaque repère ne sont en effet pas perpendiculaires. Dans la première partie de la question, nous devons considérer le repère 𝐴 ; 𝐵, 𝐷. Lorsque le repère est écrit avec cette notation, la première lettre correspond à l’origine. Cela signifie que le point 𝐴 a pour coordonnées zéro, zéro. La deuxième lettre signifie que 𝐴𝐵 est l’axe des abscisses et que le segment 𝐴𝐵 représente son unité longueur. Dans ce repère, le point 𝐵 a pour coordonnées un, zéro. De la même manière, la droite 𝐴𝐷 est l’axe des ordonnées et le segment AD est son unité de longueur. Cela signifie que 𝐷 a pour coordonnées zéro, un.

Comme l’angle 𝐷𝐴𝐵 n’est pas égal à 90 degrés, cela confirme qu’il s’agit d’un repère quelconque. Pour chaque partie de cette question, nous devons trouver les coordonnées du point 𝐶. Pour trouver son abscisse, on recherche un segment parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par le point 𝐶. Il s’agit du segment 𝐵𝐶. Et comme il coupe l’axe des abscisses au point 𝐵, on sait que l’abscisse de 𝐶 est un. On peut ensuite répéter cette opération pour trouver l’ordonnée du point 𝐶. On recherche un segment parallèle à l’axe des abscisses qui passe par le point 𝐶. Il s’agit du segment 𝐷𝐶. Et il coupe l’axe des ordonnées au point 𝐷. On peut donc conclure que le point 𝐶 a pour coordonnées un, un. Si le repère est 𝐴 ; 𝐵, 𝐷, alors le point 𝐶 a pour coordonnées un, un.

Dans la deuxième partie de cette question, nous devons considérer le repère 𝐶 ; 𝐷, 𝐵. Cette fois, 𝐶 est l’origine. Nous n’avons donc besoin d’aucune information supplémentaire pour conclure que dans le repère 𝐶 ; 𝐷, 𝐵, le point 𝐶 a pour coordonnées zéro, zéro.

Nous passons ensuite au repère 𝐿 ; 𝐽, 𝐷. L’origine se trouve cette fois au point 𝐿. La droite 𝐿𝐽 est l’axe des abscisses et le segment LJ est son unité de longueur. Cela signifie que 𝐽 a pour coordonnées un, zéro. 𝐿𝐷 est l’axe des ordonnées et le segment LD est son unité de longueur. Donc 𝐷 a pour coordonnées zéro, un. En suivant la même méthode que pour la première partie de cette question, on voit que le segment 𝐽𝐶 est parallèle à l’axe des ordonnées et coupe l’axe des abscisses au point 𝐽. De même, le segment 𝐷𝐶 est parallèle à l’axe des abscisses et coupe l’axe des ordonnées au point 𝐷. Le point 𝐶 est donc situé à une unité sur l’axe des abscisses et à une unité sur l’axe des ordonnées par rapport à 𝐿. Nous pouvons donc conclure que dans le repère quelconque 𝐿 ; 𝐽, 𝐷, le point 𝐶 a pour coordonnées un, un.

Considérons maintenant la dernière partie de cette question. Qui concerne le repère 𝐴 ; 𝐼, 𝐿. Comme pour la première partie de cette question, l’origine se situe au point 𝐴. Donc 𝐴 a pour coordonnées zéro, zéro. La droite 𝐴𝐼 est l’axe des abscisses et le segment AI est son unité de longueur. Donc 𝐼 a pour coordonnées un, zéro. Le point 𝐿 a ensuite pour coordonnées zéro, un puisque 𝐴𝐿 est l’axe des ordonnées et que le segment 𝐴𝐿 est son unité de longueur. Comme les points 𝐼 et 𝐿 sont les milieux des segments 𝐴𝐵 et 𝐷𝐴, on sait que dans ce repère quelconque, le point 𝐵 a pour coordonnées deux, zéro et le point 𝐷 a pour coordonnées zéro, deux. On peut alors tracer des segments parallèles aux axes des abscisses et des ordonnées qui passent par le point 𝐶. Comme ces segments coupent les axes des abscisses et des ordonnées au point 2 à chaque fois, nous pouvons conclure que le point 𝐶 a pour coordonnées deux, deux.

Nous avons maintenant répondu aux quatre parties de cette question. Le point 𝐶 a pour coordonnées un, un ; zéro, zéro ; un, un ; et deux, deux dans les quatre repères quelconques donnés.

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