Transcription de la vidéo
Dans une usine, des cartons sont transportés d'un endroit à un autre à travers une pente rugueuse inclinée de 13 mètres de long et de 12 mètres de haut. Les cartons initialement au repos sont relâchés du sommet de la pente pour glisser librement. Étant donné que le coefficient de frottement entre le plan et le carton est de 0,27, calculez la vitesse du carton lorsqu’il atteint le bout de la pente, arrondie au centième près. Prenez l’accélération de la pesanteur 𝑔 égale 9,8 mètres par seconde au carré.
Eh bien, disons que c’est la pente sur laquelle les cartons de cette usine glissent vers le bas. En commençant par le sommet initialement au repos, on nous dit qu’ils glissent sur cette pente et qu’ils subissent pendant ce temps une force de frottement. La pente est de 13 mètres de long, et les cartons tombent d’une hauteur de 12 mètres sous l’influence de la force de la pesanteur, avec une accélération donnée. On veut calculer la vitesse du carton lorsqu’elle atteint le bout de la pente. On appelle cette vitesse 𝑣 indice f.
On symbolise le coefficient de frottement par la lettre grecque 𝜇, et ensuite on dégage un peu d’espace pour travailler sur la solution du problème. Tout d’abord on doit noter que lorsque ces cartons glissent sur la pente, elles subissent une accélération constante. Autrement dit, la force de la pesanteur qui pousse les cartons vers le bas de la pente et la force de frottement qui résiste à ce mouvement sont constantes lorsque le carton se déplace. Chaque fois qu’un objet subit une accélération constante, cela signifie qu’un ensemble d’équations, appelées équations du mouvement, s’applique pour décrire son mouvement.
En général, il y a quatre équations de ce type, mais ici, l’on va se concentrer sur l’une d’elles. Cette équation nous dit que lorsqu’un objet subit une accélération constante, sa vitesse finale au carré est égale à sa vitesse initiale au carré plus deux fois son accélération multipliée par son déplacement. En appliquant cette relation à notre scénario, on voit que c’est 𝑣 indice f l’inconnu que l’on veut calculer. Et 𝑣 indice i, la vitesse initiale des cartons, est nulle. Nous le savons parce qu’ils partent du repos.
Si l’on prend alors la racine carrée des deux côtés de l’équation, on constate que 𝑣 indice f est égal à la racine carrée de deux fois 𝑎 fois 𝑠. Ici, 𝑎 est l’accélération constante du carton et 𝑠 est son déplacement lorsqu’il glisse sur la pente. On connait ce déplacement. Il est bien 13 mètres. Mais qu’en est-il de l’accélération 𝑎 du carton ?
Pour calculer cette grandeur, commençons par considérer les forces qui agissent sur le carton lorsqu’il glisse sur la pente. En tracant une vue agrandie d’un carton lorsqu’il descend, on sait qu’il subit le poids, 𝑚 fois 𝑔; une force normale ou de réaction, qu’on appelle 𝑅; et une force de frottement, qu’on appelle 𝐹, qui agit dans le sens opposé au mouvement du carton.
Et on écrit toutes ces forces parce que, en rappelant la deuxième loi de Newton sur le mouvement, qui nous dit que la force résultante sur un objet est égale à sa masse multipliée par son accélération, on voit que l’on utiliser les forces agissant sur le carton qui glisse sur la pente pour calculer son accélération. Pour ce faire, disons que la sens 𝑥 vers le bas de la pente est positif et que le sens 𝑦 perpendiculaire à la pente vers l’extérieur est positif. Si l’on considère les forces qui agissent dans ce que l’on appelle la direction 𝑥 sur le carton, l’on voit qu’une composante du poids, mise en évidence ici, correspond à cette description.
Ensuite, si l’on revient à notre schéma original en bas de l’écran, on peut définir un angle dans ce triangle rectangle. On l’appelle 𝜃. C’est égal à l’angle entre les composantes du poids dans ce triangle rectangle. Alors on voit que la composante du poids dans la direction 𝑥 est 𝑚 fois 𝑔 fois le sinus de 𝜃.
En revenant à notre schéma original, on voit que cela est égal au côté opposé du triangle, 12 mètres, divisé par son hypoténuse. Autrement dit, le sin de cet angle 𝜃 se simplifie à douze sur treize. De ce terme, on soustrait la force de frottement 𝐹. Et ces forces combinées de cette manière sont égales à la masse du carton multipliée par son accélération dans la direction 𝑥.
Il faut rappeler que, en général, la force de frottement 𝐹 agissant sur un objet est égale au coefficient de frottement 𝜇 multiplié par la force de réaction agissant sur l’objet. On a ce coefficient de frottement qui nous est donné dans l’énoncé du problème. Et en regardant notre diagramme de corps libre, le schéma montrant bien toutes les forces agissant sur notre carton, l’on peut voir que l’intensité de la force de réaction 𝑅 est égale à la composante du poids agissant comme ceci. Mathématiquement, cela est égal à 𝑚 fois 𝑔 fois le cos de 𝜃.
Et finalement, en revenant à notre schéma original, on remarque que ce triangle rectangle a des rapports de longueurs des côtés spéciaux. Avec une hypoténuse de 13 et une hauteur de 12, nous savons qu’il s’agit d’un triangle où l’autre côté a une longueur de cinq unités, dans ce cas cinq mètres. On remarque cela parce que le cos de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent divisée par la longueur de l’hypoténuse. Autrement dit, le cos de 𝜃 est égal à cinq treizièmes. Donc 𝑚 fois 𝑔 fois cinq treizièmes est égal à l’intensité de la force de réaction 𝑅. Et en multipliant cela par le coefficient de frottement 𝜇, on obtient alors une expression pour la force de frottement 𝐹.
Notre équation pour les forces dans la direction 𝑥 ressemble maintenant à ceci. Et observe que la masse du carton apparaît dans chaque terme. Puisque le carton a une masse non nulle, cela nous dit que l’on peut diviser les deux côtés de l’équation par 𝑚 qui va disparaître de l’équation. Si ensuite on factorise l’accélération de la pesanteur 𝑔 des deux termes du côté gauche, on trouve cette expression pour l’accélération du carton vers le bas de la pente 𝑎.
Sachant cela, on peut maintenant substituer le côté gauche de notre expression pour 𝑎 dans notre expression de 𝑣 indice f. Lorsque l’on fait cela et que l’on multiplie 13 par deux pour obtenir 26, alors on a cette expression globale pour la vitesse finale du carton. Et finalement, on substitue les valeurs de l’accélération de la pesanteur 𝑔 et du coefficient de frottement 𝜇. Lorsque on rentre cette expression sur la calculatrice, en arrondissant la réponse au centième près, on obtient 14,45. Et la réponse a comme unités mètres par seconde. C’est la vitesse que les cartons atteignent lorsqu’ils sont au bout de cette pente.
