Vidéo question :: Evaluer une limite en la transformant en une limite exprimant le nombre d’Euler Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de moins quatre tan cube de 𝑥 plus un, le tout élevé à la puissance cotangente cube de 𝑥.

Dans cette question, on nous demande d’évaluer une limite. Et la première chose à faire chaque fois qu’on nous demande d’évaluer une limite est de voir si nous pouvons le faire directement. Nous pourrions vouloir essayer la substitution directe. Cependant, rappelez-vous, les fonctions trigonométriques ne sont continues que sur leur ensemble de définition. Et 𝑥 égale zéro n’est pas dans l’ensemble de définition de cotangente de 𝑥. Nous ne pouvons donc pas évaluer cela en utilisant la substitution directe.

Cependant, nous pouvons voir ce qui arrive à notre fonction lorsque 𝑥 se rapproche de zéro. À l’intérieur de nos parenthèses, lorsque 𝑥 tend vers zéro, tan 𝑥 tend également vers zéro. Ainsi, l’expression à l’intérieur de nos parenthèses tend vers un. Cependant, nous ne pouvons pas déterminer ce qui arrive à notre exposant lorsque 𝑥 tend vers zéro. Lorsque 𝑥 tend vers zéro à droite, cotangente de 𝑥 tend vers ∞. Cependant, lorsque 𝑥 tend vers zéro à gauche, cotangente de 𝑥 tend vers moins ∞. Et dans les deux cas, un à la puissance plus ∞ et un à la puissance moins ∞ sont de toute façon des formes indéterminées. Nous ne pouvons donc pas utiliser cela pour évaluer notre limite.

Au lieu de cela, nous allons devoir essayer une manipulation. Et il peut être difficile de voir ce que nous devons faire pour nous aider à évaluer cette limite. Une chose que nous pouvons remarquer est que cotangente cube de 𝑥 est en fait un divisé par tan cube de 𝑥. Nous allons donc essayer d’utiliser cela pour évaluer notre limite. Nous rappelons que la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛, le tout élevé à la puissance un sur 𝑛 est égale à 𝑒. Et il convient de souligner ici que nous pouvons utiliser l’autre résultat exprimant le nombre d’Euler 𝑒 pour répondre à cette question.

Généralement, l’un des deux résultats permet une résolution beaucoup plus facile. Et il peut être très difficile de déterminer lequel de nos deux résultats nous devons utiliser simplement en regardant la limite que nous sommes censés évaluer. Donc si nous avons du mal, nous devons essayer de changer d’expression.

Maintenant, pour utiliser ce résultat de limite, nous allons d’abord devoir réécrire notre limite sous cette forme. La première chose que nous allons faire est de changer l’ordre des deux termes à l’intérieur de nos parenthèses. Cela nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un moins quatre tan cube de 𝑥, le tout élevé à la puissance cot cube de 𝑥. Ensuite, à l’intérieur de nos parenthèses, nous voulons faire apparaître un plus notre variable. Nous allons donc devoir utiliser un changement de variable. Nous allons poser 𝑛 égale moins quatre fois tan cube de 𝑥.

Donc pour réécrire notre limite en utilisant le changement de variable, nous devons voir ce qui arrive à 𝑛 lorsque 𝑥 tend vers zéro. Nous pouvons le faire directement à partir de notre équation de changement de variable. Du côté droit de notre équation, lorsque 𝑥 tend vers zéro, le côté droit de notre équation tend vers zéro, car le côté droit de cette équation est une fonction continue. Nous pouvons donc simplement évaluer cela par substitution directe. Ainsi, lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑛 tend également vers zéro.

Mais il y a une autre instance de 𝑥 qui apparaît dans notre limite. Nous devons trouver une expression pour cotangente cube de 𝑥 en fonction de 𝑛. Et pour ce faire, nous allons devoir réarranger notre changement de variable. Nous commençons par diviser par moins quatre. Nous obtenons moins 𝑛 sur quatre égale tan cube de 𝑥.

Et maintenant, parce que nous voulons une expression de cotangente cube de 𝑥, nous pouvons en fait simplement prendre l’inverse des deux côtés de cette équation. Et il convient de souligner ici que nous n’avons pas à nous inquiéter d’une division par zéro car nos limites sont lorsque 𝑥 tend vers zéro et 𝑛 tend vers zéro. Ainsi, nos valeurs de 𝑥 et de 𝑛 ne sont jamais égales à zéro. Et cela signifie que tan cube de 𝑥 n’est pas égal à zéro et 𝑛 n’est pas égal à zéro. Cela nous donne donc moins quatre sur 𝑛 égale cotangente cube de 𝑥.

Maintenant, nous sommes prêts à utiliser ce changement de variable pour réécrire notre limite. Nous avons réécrit notre limite comme la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛, le tout élevé à la puissance moins quatre sur 𝑛. Et maintenant, ceci est presque la forme exacte de la limite exprimant le nombre d’Euler 𝑒. La seule différence est que, dans notre exposant, nous avons un facteur moins quatre. Donc pour appliquer notre résultat de limite, nous allons devoir placer ce facteur moins quatre en dehors de notre limite. Pour ce faire, nous allons devoir utiliser la règle des puissances pour les limites. Mais d’abord, nous allons utiliser nos propriétés des exposants.

Nous savons que 𝑎 à la puissance 𝑏 fois 𝑐 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑏, le tout élevé à la puissance 𝑐. En posant 𝑎 égale un plus 𝑛, 𝑏 égale un sur 𝑛, et 𝑐 égale moins quatre, nous pouvons réécrire notre limite comme la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛 à la puissance un sur 𝑛, le tout élevé à la puissance moins quatre. Maintenant, tout ce qui nous reste à faire c’est de déplacer en dehors de notre limite cet exposant moins quatre. Et pour ce faire, nous utilisons la règle des puissances pour les limites.

Elle dit que la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 élevé à la puissance 𝑘 est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛, le tout élevé à la puissance 𝑘, à condition que la limite lorsque 𝑛 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑛 existe et que nous puissions élever cela à la puissance 𝑘. Et le moyen le plus simple de montrer que ces deux conditions sont remplies consiste à écrire l’étape suivante de notre résolution. En utilisant la règle des puissance pour les limites, nous obtenons que notre limite est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛, le tout élevé à la puissance un sur 𝑛, le tout élevé à la puissance moins quatre.

Mais rappelez-vous, c’est à condition que la limite lorsque 𝑛 tend vers zéro de un plus 𝑛, le tout élevé à la puissance un sur 𝑛 existe, et nous savons que cela existe. C’est notre justement le nombre d’Euler 𝑒. Et bien sûr, n’oubliez pas que nous devons également vérifier que nous pouvons élever ce nombre à la puissance désirée, et bien sûr que nous le pouvons. Nous obtenons ainsi 𝑒 à la puissance moins quatre. Cela signifie que nous avons pu justifier l’utilisation de la règle des puissances pour les limites afin de calculer notre limite comme 𝑒 à la puissance moins quatre. Cependant, nous ferons une dernière manipulation pour réécrire ceci comme un sur 𝑒 à la puissance quatre, qui est notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de moins quatre tan cube de 𝑥 plus un, le tout élevé à la puissance cotangente cube de 𝑥 est égale à un sur 𝑒 à la puissance quatre.