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Vidéo de question : Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’une fonction polynomiale en une valeur donnée de 𝑥 Mathématiques

Déterminez l’équation de la tangente à la courbe d’équation 𝑦 = -2𝑥³ + 8𝑥² - 19 en 𝑥 = 2.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’équation de la tangente à la courbe 𝑦 est égal à moins deux 𝑥 au cube plus huit 𝑥 au carré moins 19 en 𝑥 est égal à deux.

Nous cherchons l’équation de la tangente à cette courbe polynomiale de degrés 3. Et nous savons que la pente de la tangente à la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale 𝑎 est la dérivée 𝑓 prime calculée en 𝑎. La pente de la tangente dont nous voulons trouver l’équation est donc la valeur de 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en 𝑥 égale deux.

Espérons que, après avoir trouvé la pente de la tangente, nous serons sur la bonne voie pour trouver l’équation de la tangente. Cela suggère que nous devrions trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, qui est la dérivée par rapport à 𝑥 de moins deux 𝑥 au cube plus huit 𝑥 au carré moins 19. Nous pouvons utiliser le fait que la dérivée d’une somme ou d’une différence de fonctions est la somme ou la différence, le cas échéant, des dérivées des fonctions. Et nous pouvons calculer ces dérivées une par une en commençant par la dérivée par rapport à 𝑥 de moins deux 𝑥 au cube.

Pour trouver cette dérivée, nous utilisons le fait que la dérivée par rapport à 𝑥 d’une puissance de 𝑥, 𝑥 puissance 𝑛, est 𝑛 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Et comme la dérivée d’un nombre fois une fonction est ce nombre fois la dérivée de cette fonction, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 est 𝑎 fois 𝑛 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Ainsi, la dérivée de moins deux fois 𝑥 puissance trois est moins deux fois trois fois 𝑥 puissance trois moins un, ce qui donne moins six 𝑥 au carré.

Nous pouvons utiliser la même règle pour trouver la dérivée de huit 𝑥 au carré ou de huit 𝑥 puissance deux. C’est 16𝑥. Et la dérivée de la fonction constante 19 par rapport à 𝑥 est juste zéro. Ce terme constant ne contribue pas à notre dérivée. Et donc 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 est moins six 𝑥 au carré plus 16𝑥.

La pente de notre tangente est 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 calculée en 𝑥 est égal à deux. Donc, en remplaçant 𝑥 par deux, nous obtenons moins six fois deux au carré plus 16 fois deux, soit huit.

Maintenant que nous avons trouvé la pente de la tangente, dégageons de la place et trouvons l’équation de la tangente. Nous voulons trouver l’équation de la tangente. Et nous savons que la pente de cette droite est de huit. Mais nous allons avoir besoin d’autres informations pour déterminer quelle est l’équation.

La droite de la tangente touche ou coupe la courbe 𝑦 est égal à moins deux 𝑥 au cube plus huit 𝑥 au carré moins 19 lorsque 𝑥 est égal à deux. Ainsi, lorsque 𝑥 vaut deux, ses coordonnées 𝑦 doivent être les mêmes que celles de la courbe. Voici un rapide dessin pour montrer pourquoi.

En appliquant cela à notre exemple, nous voyons que notre tangente passe par le point deux, moins deux fois deux au cube plus huit fois deux au carré moins 19. Ici, nous venons de remplacer 𝑥 par deux. En calculant cela, nous constatons que la tangente passe par le point deux, moins trois.

Et maintenant, avec ces deux informations, nous avons suffisamment d’informations pour trouver l’équation de la tangente. Nous pouvons utiliser la forme cartésienne suivante de l’équation d’une droite. La pente 𝑚 est huit. Et 𝑥 zéro et 𝑦 zéro sont respectivement deux et moins trois, car la tangente passe par le point deux, moins trois.

Tout ce que nous avons à faire maintenant, c’est simplifier. Du côté gauche, moins moins trois devient plus trois. Et du côté droit, nous développons pour obtenir huit 𝑥 moins 16. En réarrangeant l’équation de sorte que tous les termes vont du côté gauche, nous trouvons que une équation de la tangente à la courbe 𝑦 est égale à moins deux 𝑥 au cube plus huit 𝑥 au carré moins 19, pour 𝑥 égale deux sous forme cartésienne, est 𝑦 moins huit 𝑥 plus 19 égale zéro.

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