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Lequel des courbes suivantes a pour équation 𝑦 est égal à deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus un ?
On nous donne quelques graphiques de fonctions du second degré et nous devons déterminer lequel d’entre eux représente l’équation 𝑦 est égal à deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus un.
Pour ce faire, nous rappelons qu’une fonction du second degré a la forme 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 pour certaines constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où 𝑎 est différent de zéro. Nous pouvons noter différentes propriétés des polynômes de second degré à partir de cette forme générale. La première est que tous les polynômes du second degré ont une forme parabolique. Si la constante 𝑎, que nous appelons le coefficient dominant, est inférieure à zéro, la courbe s’ouvre vers le bas, alors que si 𝑎 est supérieur à zéro, elle s’ouvre vers le haut.
Dans notre équation 𝑦 est égal à deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus un, nous voyons que 𝑎 est égal à deux. Il s’agit du coefficient de 𝑥 au carré. Il est supérieur à zéro. Ainsi, le graphique représentant notre fonction doit s’ouvrir vers le haut. Cela signifie que nous pouvons éliminer les courbes (D) et (E) car elles s’ouvrent toutes les deux vers le bas.
Nous savons également que toutes les courbes de polynômes du second degré ont une ordonnée à l’origine au point zéro, 𝑐. Il s’agit du point où la courbe croise l’axe des 𝑦. Maintenant, dans notre cas, nous voyons que 𝑐 est égal à un, de sorte que l’ordonnée à l’origine doit être le point de coordonnées zéro, un. Si nous considérons les trois options restantes (A), (B) et (C), nous voyons que le graphique (A) a son ordonnée à l’origine au point zéro, moins un. Nous pouvons donc éliminer le graphique (A) car cela ne correspond pas à la valeur de 𝑐 dans notre équation.
Les deux graphiques (B) et (C) ont leur ordonnée à l’origine au point zéro, un. Ils pourraient donc représenter l’équation. Quelque chose d’autre que nous savons sur les fonctions du second degré est qu’elles peuvent avoir jusqu’à deux racines, et parfois aucune. Les coordonnées 𝑥 de ces points nous indiquent les valeurs pour lesquelles la fonction donne zéro.
Maintenant, nous voyons que nous avons deux racines dans les deux graphiques restants. Voyons donc les coordonnées de l’une de ces racines pour chacun des deux graphiques pour voir si elles satisfont à l’équation donnée. En prenant la racine de coordonnées un, zéro du graphique (B), en substituant 𝑥 est égal à un et 𝑦 est égal à zéro dans notre équation, nous pouvons voir si les côtés droit et gauche de l’équation correspondent. Sur la droite, nous avons deux fois un au carré moins trois fois un plus un, ce qui donne deux moins trois plus un. Ceci est égal à zéro. Ainsi, le point un, zéro satisfait à l’équation donnée.
Maintenant, nous essayons la même chose pour l’une des racines du graphique (C) : en prenant le point moins un, zéro et en substituant ces coordonnées dans l’équation, sur la droite, nous avons deux fois moins un au carré moins trois fois moins un plus un. Puisque moins un au carré est égal à un et que moins trois fois moins un est égal à trois, cela donne deux plus trois plus un, soit six.
Les côtés droit et gauche ne sont pas égaux en ce point. Ainsi, ce point ne satisfait pas l’équation donnée. Puisque ce point se trouve sur le graphique (C), le graphique (C) ne peut pas représenter l’équation donnée.
Cela nous laisse avec le graphique (B). Nous savons que le graphique (B) représente l’équation donnée, c’est-à-dire que la courbe s’ouvre vers le haut, que son ordonnée à l’origine satisfait à l’équation et que l’une des racines satisfait également à l’équation. Pour être sûr que le graphique (B) représente l’équation donnée, nous pouvons vérifier que d’autres points du graphique satisfont à l’équation. Allons-y.
Il est judicieux de vérifier la deuxième racine, qui a pour coordonnées un demi, zéro. Ainsi, si nous substituons ces valeurs dans notre équation, sur le côté droit, nous avons deux fois un demi au carré moins trois fois un demi plus un. Nous voulons savoir si cela est égal à zéro. Après calcul, nous obtenons bien zéro. Par conséquent, cette deuxième racine du graphique (B) satisfait à l’équation donnée.
En guise de confirmation finale, nous voyons que le point de coordonnées deux, trois est également sur la courbe de l’option (B). Essayons donc ceci dans l’équation donnée. La substitution de 𝑥 est égal à deux et 𝑦 est égal à trois dans l’équation donne à droite deux fois deux au carré moins trois fois deux plus un et trois à gauche. Le membre de droite donne huit moins six plus un, soit trois. Ainsi, les côtés droit et gauche sont égaux et le point satisfait à l’équation donnée.
Nous constatons alors que puisque le coefficient dominant de la fonction est positif, que les racines, l’ordonnée à l’origine et un autre point de la courbe satisfont à l’équation donnée, le graphique (B) représente l’équation 𝑦 est égal à deux 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus un.
