Transcription de la vidéo
Une tour est haute de 33 mètres. L’angle d’abaissement depuis le sommet d’une colline au sommet de la tour est de 31 degrés. L’angle d’abaissement depuis le sommet de la colline à la base de la tour est de 52 degrés. Calculez la hauteur de la colline au mètre près, sachant que la base de la colline est au même niveau horizontal que celle de la tour. Donnez la réponse au mètre près.
Pour commencer, nous allons faire un schéma de la situation. On nous dit d'abord que nous avons une tour de 33 mètres de haut. Il y a aussi une colline dont nous ne connaissons pas la hauteur, et on a des informations sur certains angles d’abaissement. Rappelez-vous qu'un angle d’abaissement est l'angle formé entre l'horizontale et la ligne de visée lorsque vous regardez vers un objet. On nous dit que l'angle d’abaissement entre le sommet de la colline et le sommet de la tour est de 31 degrés. Il s'agit donc de cet angle, l'angle entre l'horizontale et la ligne de visée lorsque nous regardons le sommet de la tour depuis le sommet de la colline.
On nous indique également que l'angle d’abaissement du sommet de la colline au pied de la tour est de 52 degrés. Il s'agit donc de cet angle ici, l'angle entre l'horizontale et la ligne de visée lorsque nous regardons vers le bas de la tour. On peut donc diviser l'angle de 52 degrés en un angle de 31 degrés, que nous avons déjà représenté, et le reste, soit 21 degrés, qui se trouve entre les deux lignes de visée. Rappelez-vous que ce schéma n'est pas à l'échelle.
Il s'agit de trouver la hauteur de la colline, nous pouvons donc l'appeler 𝑥 mètres. La dernière information est que la base de la colline et la base de la tour se trouvent sur le même plan horizontal, ce qui signifie que nous pouvons supposer que le sol entre les deux est plat. Il existe donc un angle droit entre le sol et la hauteur verticale de la colline ou, en aussi, la hauteur verticale de la tour.
On peut maintenant voir qu'il y a deux triangles dans notre schéma : celui-ci, qui n'est pas un triangle droit et dont nous connaissons une longueur de 33 mètres et un angle de 21 degrés, et celui-là, qui est un triangle droit dont on ignore actuellement toute autre information. Ces deux triangles ont un côté commun, de longueur 𝑦 mètres. Comme nous n’avons aucune autre information sur notre triangle orange, examinons plutôt le triangle rose. Si on trace une autre horizontale ici, on peut voir que nous avons une paire d'angles alternes-internes formées par des droites parallèles. Et comme nous savons que les angles alternes-internes sont égaux, cette partie de l'angle à l'intérieur de notre triangle est égale aussi à 31 degrés.
On sait également que l'angle entre l'horizontale et la verticale est de 90 degrés. Et donc cet angle obtus dans le triangle rose est composé d'un angle de 90 degrés et d'un angle de 31 degrés. Il est donc égal à 121 degrés. On peut également calculer le troisième angle de notre triangle car on sait que la somme des angles de tout triangle est égale à 180 degrés. Le dernier angle est donc égal à 180 degrés moins les deux autres angles, qui sont 121 degrés et 21 degrés, ce qui signifie que le troisième angle est de 38 degrés. Si on considère le triangle rose, on connaît maintenant les mesures des trois angles et la longueur d'un côté, ce qui signifie qu'on a suffisamment d'informations pour pouvoir calculer la longueur de l'un des deux autres côtés ou, en particulier, le côté de longueur 𝑦 mètres en appliquant la loi du sinus.
La loi du sinus nous dit que dans tout triangle, le rapport entre la longueur d'un côté et le sinus de son angle opposé est constant, ce qui s'écrit 𝑎 sur sinus 𝐴 égale 𝑏 sur sinus 𝐵 égale 𝑐 sur sinus 𝐶, où les lettres minuscules représentent les côtés et les lettres majuscules leurs angles opposés. Le côté de 33 mètres est opposé à l'angle de 21 degrés, et le côté qu’on désire calculer, 𝑦, est opposé à l'angle de 121 degrés. En appliquant la loi du sinus, on obtient donc 𝑦 sur sinus 121 degrés égale 33 sur sinus 21 degrés. On peut donc résoudre cette équation en multipliant les deux côtés par sinus 121 degrés, ce qui nous donne 𝑦 égale 33 sinus 121 degrés sur sinus 21 degrés.
En utilisant une calculatrice, on obtient que 𝑦 égale 78,931. Nous savons donc maintenant quelle est la longueur du côté commun 𝑦, ce qui signifie que nous pouvons obtenir des informations supplémentaires sur notre triangle orange. On peut également calculer la mesure de l'un des autres angles de ce triangle. En bas à gauche de notre schéma, il y a un angle droit entre l'horizontale et la verticale. On sait qu'une partie de cet angle est de 38 degrés. La partie restante de cet angle sera donc 90 degrés moins 38 degrés. Cela fait 52 degrés. Dans notre triangle orange, qui est un triangle rectangle, on connaît donc maintenant un angle de 52 degrés, un côté de 78,9 mètres et on souhaite calculer la longueur d'un autre côté, ce qui signifie qu'on peut appliquer la trigonométrie de l'angle droit.
En ce qui concerne l'angle de 52 degrés, le côté que nous souhaitons calculer est l'opposé. Le côté que nous connaissons, qui mesure 78,9 mètres, est l'hypoténuse. Dans ce cas, le rapport trigonométrique que nous devons utiliser et qui implique l'opposé et l'hypoténuse est le rapport sinus. Il ne s'agit que du rapport sinus standard dans un triangle rectangle, et non de la loi des sinus. Rappelez-vous, le sinus est l'opposé de l'hypoténuse, donc sinus 52 degrés égale 𝑥 sur 78,9 etcetera. On peut trouver la valeur de 𝑥 en multipliant les deux côtés de cette équation par 78,9. Donc 𝑥 égale 78,9 fois sinus 52 degrés. Nous devons maintenant garder cette valeur exacte sur nos écrans de calcul, et il suffit donc de taper " multiplié par sinus 52 degrés " pour être sûrs que notre réponse ne comporte pas d'erreur d'arrondi.
Quand on évalue ceci, en veillant à ce que notre calculatrice soit en mode degré, on obtient 62,198 ainsi de suite. Dans la question, on nous demande de donner notre réponse au mètre près. Donc, comme la première décimale est un, on arrondit à 62 mètres. En appliquant la loi du sinus et le rapport sinus dans un triangle rectangle, nous avons trouvé que la hauteur de la colline au mètre près est de 62 mètres.
