Transcription de la vidéo
La figure représente un cercle à l’intérieur d’un hexagone régulier. Calculez l’aire des regions colorées, en donnant votre réponse au dixième près.
Dans cette question, on nous donne une figure. Sur cette figure, nous avons un cercle qui est à l’intérieur d’un hexagone régulier. Nous devons utiliser notre figure pour déterminer l’aire de toutes les regions colorées additionnées. Nous devons donner notre réponse au dixième près.
Ainsi, pour répondre à cette question, commençons par regarder la région colorée sur notre figure. Nous pouvons voir que la région colorée fait partie de la zone située entre notre hexagone et notre cercle. Nous saurions calculer toute l’aire entre notre cercle et notre hexagone. Nous aurions besoin de trouver l’aire de notre hexagone, puis de soustraire l’aire du cercle. De plus, puisque nous avons un hexagone régulier et que notre cercle est inscrit à l’intérieur de notre hexagone, chacune de ces régions va avoir la même surface. Ainsi, puisque trois des six zones sont colorées, nous devons multiplier ceci par un demi. Par conséquent, l’aire de la zone colorée est la moitié de l’aire de l’hexagone moins l’aire du cercle.
Pour trouver l’aire de notre zone indiquée, nous devons calculer deux choses. Nous devons calculer l’aire de l’hexagone et l’aire de notre cercle. Commençons par trouver l’aire de notre hexagone. Il y a plusieurs façons de le faire. Nous allons utiliser la formule pour trouver l’aire d’un polygone régulier. Nous rappelons que l’aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés de longueur latérale 𝑥 est donnée par 𝑛𝑥 au carré sur quatre multiplié par la cotangente de 180 divisé par 𝑛 degrés.
Ainsi, pour trouver l’aire de notre hexagone, nous allons devoir trouver la valeur de 𝑛 et la valeur de 𝑥. Bien sûr, la valeur de 𝑛 est le nombre de côtés et tout hexagone a six côtés. Notre valeur de 𝑛 est donc de six. Cependant, nous n’avons aucune des longueurs latérales de notre hexagone sur notre figure. Nous allons donc devoir les trouver. Une nouvelle fois, il y a plusieurs façons de procéder. Le moyen le plus simple de le faire est de savoir que l’angle interne dans un hexagone régulier est de 120 degrés. Si nous séparons ensuite cela en deux par la droite suivante, nous obtenons quelque chose d’intéressant.
Puisque nous divisons un angle de 120 degrés en deux, l’angle ici est de 60 degrés. La même chose est vraie de l’autre côté. Nous divisons l’angle interne d’un hexagone régulier. L’angle ici est également de 60 degrés. Par conséquent, tous les angles internes de ce triangle sont de 60 degrés. Ce doit être un triangle équilatéral. Dans un triangle équilatéral, toutes les longueurs sont les mêmes. Ainsi, la longueur de notre côté de notre hexagone doit être de 14. Par conséquent, dans notre formule pour l’aire d’un hexagone, notre valeur de 𝑥 est 14.
Il convient de souligner que ce n’était pas la seule façon pour nous de calculer cette valeur. Si nous ne savions pas que l’angle interne d’un hexagone régulier était de 120 degrés, nous aurions pu construire le même triangle et nous aurions trouvé que deux des longueurs étaient de 14. Ensuite, nous pouvons construire les six triangles congruents suivants. Puis, nous pouvons voir que nous divisons un angle de 360 degrés en six segments égaux. Nous pouvons donc déterminer que l’angle entre nos deux longueurs de 14 est de 60 degrés.
Ainsi, dans ce triangle, nous connaîtrions alors deux longueurs et l’angle entre elles. Nous pouvons ensuite utiliser la loi des cosinus pour trouver l’autre longueur de notre triangle. Cela nous donnerait également une réponse de 14. Cependant, cette méthode est plus compliquée.
Nous sommes maintenant prêts à trouver l’aire de notre hexagone. Notre valeur de 𝑛 est six et notre valeur de 𝑥 est 14. Nous les remplaçons donc dans notre formule. L’aire de notre hexagone vaut six fois 14 au carré sur quatre multipliée par la cotangente de 180 divisé par six degrés. Nous pouvons évaluer cela. Premièrement, six fois 14 au carré sur quatre est égal à 294 et 180 divisé par six vaut 30. Ainsi, cela se simplifie pour nous donner 294 multiplié par la cotangente de 30 degrés. Pour évaluer cela, nous devons nous rappeler que multiplier par la cotangente d’un angle revient à diviser par la tangente de cet angle. Nous pouvons donc simplifier cela pour nous donner 294 divisé par la tangente de 30 degrés.
Or, 30 degrés est l’un de nos angles standard. Nous savons que la tangente de 30 degrés vaut un divisé par racine carrée de trois. Bien sûr, diviser par un sur racine carrée de trois est la même chose que multiplier par racine carrée de trois. Nous pouvons donc trouver l’aire de notre hexagone de manière exacte. Soit 294 racine de trois unités carrées.
Maintenant, pour trouver l’aire de notre zone indiquée, nous allons devoir trouver l’aire de notre cercle. Pour trouver cela, nous rappelons que l’aire d’un cercle de rayon 𝑟 est donnée par 𝜋𝑟 carré. Ainsi, pour trouver l’aire de notre cercle, nous allons devoir trouver la longueur de son rayon. La façon la plus simple de faire cela est de dessiner le rayon suivant sur notre figure. Ce segment représente ce que l’on appelle l’apothème de l’hexagone et il a plusieurs propriétés très utiles.
Premièrement, l’angle qu’il forme avec les côtés de notre hexagone sera droit. Nous aurons 90 degrés. Ensuite, il divise en deux parts égales l’angle au centre de notre cercle. Puisque cet angle était de 60 degrés, nous avons 60 sur deux, qui donne 30 degrés. Bien qu’il ne soit pas nécessaire de répondre à cette question, l’apothème divisera en deux parts égales les côtés de notre hexagone. Nous voulons utiliser cette information pour trouver la valeur de notre rayon 𝑟.
Nous pouvons voir que 𝑟 est inscrit dans un triangle rectangle. Nous connaissons l’hypoténuse de notre triangle rectangle et nous connaissons l’angle entre l’hypoténuse et 𝑟. Nous pouvons donc trouver la valeur de 𝑟 en utilisant la trigonométrie. Nous savons que le cosinus d’un angle dans un triangle rectangle est égal à la longueur du côté adjacent à cet angle divisé par la longueur de notre hypoténuse. Ainsi, dans notre triangle, le cosinus de 30 degrés est égal à 𝑟 divisé par 14. Nous pouvons trouver la valeur de 𝑟 en multipliant les deux côtés de cette équation par 14. Encore une fois, 30 degrés est un angle standard. Nous savons donc que le cosinus de 30 degrés vaut racine carrée de trois divisée par deux. Nous pouvons donc trouver la valeur exacte de 𝑟. 𝑟 vaut 14 multiplié par racine de trois sur deux. Or, 14 sur deux donne sept. Ainsi, 𝑟 est égal à sept racine de trois.
Maintenant que nous avons trouvé la longueur du rayon de notre cercle, nous pouvons l’utiliser pour trouver l’aire de notre cercle. L’aire est égale à 𝜋𝑟 carré, qui, dans ce cas, donne 𝜋 fois sept racine de trois le tout au carré. Encore une fois, nous pouvons trouver exactement l’aire du cercle. Nous allons commencer par répartir le carré sur nos parenthèses. Cela nous donne 𝜋 fois sept au carré multiplié par racine de trois au carré. Nous pouvons simplifier davantage. Sept au carré donne 49 et racine de trois au carré est égal à trois. Nous obtenons donc 𝜋 fois 49 fois trois. 49 fois trois est égal à 147. Ainsi, l’aire de notre cercle est de 147𝜋 unités carrées.
Maintenant que nous avons trouvé à la fois l’aire de notre hexagone et celle notre cercle, nous pouvons trouver l’aire de la zone colorée. Rappelez-vous, elle vaut un demi multiplié par l’aire de l’hexagone moins l’aire du cercle. En substituant dans nos expressions l’aire de l’hexagone et l’aire du cercle, nous obtenons un demi multiplié par 294 racine trois moins 147𝜋. Si nous calculons cela, nous obtenons 23.704, cette partie décimale continue, en unités carrées.
Rappelez-vous, la question veut que nous donnions notre réponse au dixième près. Nous allons donc devoir arrondir cela. Le dixième correspond à la première décimale. Nous devons vérifier notre deuxième décimale. La deuxième décimale dans cette aire est zéro. Nous allons donc devoir arrondir vers le bas. Cela nous donne 23.7. Bien que ce ne soit pas nécessaire car cela représente une aire, il est utile de lui donner une unité. Nous les écrirons comme des unités carrées.
Par conséquent, dans cette question, nous avons pu trouver l’aire colorée, qui faisait partie d’une région entre un cercle inscrit à l’intérieur d’un hexagone régulier. Pour ce faire, nous avons dû utiliser la trigonométrie et notre formule pour trouver l’aire d’un hexagone régulier et l’aire d’un cercle. Nous avons pu montrer que l’aire de cette région au dixième près est de 23.7 unités carrées.
