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Vidéo de question : Utiliser la somme d'une série constante pour déterminer le nombre de termes de celle-ci Mathématiques

Sachant que ∑_ (𝑟 = 1) ^ (𝑛) (𝑟) = 3, déterminez la valeur de 𝑛.

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Transcription de vidéo

Sachant que la somme de 𝑟 égale un jusqu'à 𝑛 de 𝑟 égale trois, déterminez la valeur de 𝑛.

Récapitulons d'abord ce que signifie cette notation. Généralement, la somme de 𝑟 égale un jusqu'à 𝑛 de 𝑎 𝑟 désigne la somme de la série de terme général 𝑎 𝑟, qui sera une fonction de 𝑟. Si l'indice de départ est un et l'indice d'arrivée est 𝑛, alors nous additionnons 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois et ainsi de suite jusqu'à 𝑎 𝑛. Dans cette question, 𝑎 𝑟 est juste égal à 𝑟, donc nous additionnons simplement l'indice lui-même.

Ainsi, la somme de 𝑟 égale un jusqu'à 𝑛 de 𝑟 donne juste un plus deux plus trois jusqu'à 𝑛. On nous dit en fait que cette somme est égale à trois. Nous pouvons donc répondre à cette question par tâtonnement en ajoutant les entiers en partant de un jusqu'à obtenir trois. Si 𝑛 était égal à un, alors nous aurions la somme de 𝑟 égale à un jusqu'à un de 𝑟, qui est tout simplement égal à un. Si 𝑛 est égal à deux, alors nous aurons la somme de 𝑟 égale à un jusqu'à deux de 𝑟, qui est égale à un plus deux. Cela donne bien sûr trois, ce qui est la somme que nous cherchions. Nous pouvons donc nous arrêter.

La valeur de 𝑛 telle que la somme de 𝑟 égale à un jusqu'à 𝑛 de 𝑟 est égale à trois est deux.

Une autre manière de répondre à cette question serait de rappeler un résultat standard, qui est que la somme de 𝑟 égale à un jusqu'à 𝑛 de 𝑟 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un sur deux. Or, nous avons besoin que cette somme soit égale à trois. Nous pouvons donc poser une équation en 𝑛. 𝑛 fois 𝑛 plus un sur deux égalent trois. Pour déterminer la valeur de 𝑛, nous commençons par multiplier les deux membres de l'équation par deux, ce qui donne 𝑛 fois 𝑛 plus un égalent six. Nous développons ensuite les parenthèses du côté gauche, ce qui donnera 𝑛 au carré plus 𝑛 est égal à six, puis nous retranchons six de chaque côté de l'équation pour donner 𝑛 au carré plus 𝑛 moins six égalent zéro.

Nous avons une équation du second degré en 𝑛 qui peut être résolue par factorisation. La forme factorisée de cette équation du second degré est 𝑛 plus trois fois par 𝑛 moins deux égale à zéro. Il en résulte donc que soit 𝑛 plus trois vaut zéro, soit 𝑛 moins deux vaut zéro. Pour résoudre la première de ces équations, nous soustrayons trois de chaque côté, ce qui donne 𝑛 égale à moins trois. Quant à la deuxième, il suffit d'ajouter deux à chaque côté, ce qui donne 𝑛 égale deux. Ce sont deux solutions valides de cette équation du second degré, mais rappelons que 𝑛 représente un nombre entier supérieur ou égal à un. Ainsi, moins trois n'est pas une valeur possible pour 𝑛 dans ce cas. Nous choisissons la valeur 𝑛 égale deux.

En procédant par tâtonnement et en utilisant le résultat standard pour la somme de 𝑟 égale à un jusqu'à 𝑛 de 𝑟, nous avons donc trouvé que si la somme de 𝑟 égale un jusqu'à 𝑛 de 𝑟 est égale à trois, alors la valeur de 𝑛 est deux.

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