Vidéo : Ératosthène mesure la circonférence de la Terre

Dans cette vidéo, nous apprenons comment Ératosthène, un mathématicien de la Grèce antique, a mis au point une méthode astucieuse pour calculer la circonférence de la Terre, et nous envisageons les différentes hypothèses qu’il a formulées et comment elles ont affecté l’exactitude de sa réponse.

09:51

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment un type grec nommé Ératosthène, qui était un mathématicien, astronome, poète, théoricien de la musique et directeur de la fameuse bibliothèque d’Alexandrie en Egypte, a réussi à faire un calcul remarquable pour estimer la circonférence de la Terre il y a plus de 200 ans avant J.-C. On croit qu’il est le premier à avoir trouvé une méthode relativement exacte pour faire cela. Mais c’est difficile de préciser à quel point elle était exacte. Et nous allons voir pourquoi en expliquant cette méthode.

Dans l’un des livres à la fameuse bibliothèque, Ératosthène avait lu sur un puits dans la ville de Syène – une ville située à une bonne distance au sud de l’Alexandrie – où l’eau restait dans l’ombre pendant toute l’année, hormis vers midi, le plus long jour de l’année. Un extrait du livre décrivait comment l’extrémité de l’ombre descendait sur les côtés du puits, les rayons solaires éclairaient directement l’eau au fond et il n’existait plus aucune ombre.

Et cela l’a fait penser à deux choses. Premièrement, le Soleil doit être juste au-dessus de Syène pour que cela arrive, et les rayons solaires doivent tomber en angles droits vers la surface de la Terre. Et deuxièmement, en Alexandrie où il vivait, il n’avait jamais vu ce cas où il n’y avait aucune ombre. Là-bas, à midi, le plus long jour de l’année, les ombres étaient très courtes mais elles existaient. Il déduisit que dans une partie relativement locale de la Terre, les rayons solaires doivent être à peu près parallèles car le Soleil était trop loin.

Donc la surface de la Terre doit être courbée pour avoir des ombres de différentes longueurs dans de différentes places au même temps. Si la surface de la Terre était courbée sur tout le pourtour, alors elle est peut-être sphérique. Il décida de faire une expérience, prendre quelques mesures et faire quelques calculs afin de calculer la circonférence de la Terre.

Il y a différentes versions sur la façon avec laquelle il a mesuré l’angle des rayons solaires en Alexandrie. Certains disent qu’il a utilisé l’ombre projetée par une haute tour, et d’autres disent qu’il a utilisé un bâton de mesure particulier appelé gnomon. Mais de toute façon, la méthode est essentiellement la même. La seule différence c’est que l’impact de toute petite erreur de mesure sur un petit bâton aura un plus grand impact sur l’exactitude finale de l’estimation qu’une même erreur sur la tour. Mais nous retournerons à cela plus tard.

Pour expliquer plus facilement la méthode, disons simplement qu’il a utilisé un bâton. Bien qu’Ératosthène ait fait de différents calculs à cause des mathématiques et des conventions disponibles à l’époque, grâce à nos connaissances en trigonométrie acquises au lycée, nous pouvons calculer la mesure de l’angle des rayons solaires à partir de la verticale.

Posons un bâton verticalement par rapport au sol en vérifiant qu’il forme bien un angle de 90 degrés avec le sol, puis mesurons sa hauteur ℎ et la longueur de l’ombre 𝑙. Cet angle 𝜃 en haut ici égale l’inverse de tan de la longueur de l’ombre divisée par la hauteur du bâton. Aujourd’hui on peut juste taper cela sur notre calculatrice pour avoir la réponse. Main bien sûr cela n’était pas une option pour Ératosthène. Et quand il a calculé cette mesure, il a trouvé que 𝜃 égalait environ 7.2.

Traçons donc une plus grande version de ce diagramme pour mieux voir ce qui se passe. À partir de notre diagramme, on peut voir que si l’on prolonge les lignes du puits et du bâton vers le centre de la Terre, l’angle au centre de la Terre alterne avec l’angle mesurant 7.2 degrés. Donc il mesure également 7.2 degrés.

Cela signifie que l’arc sur la surface de la Terre entre le puits et le bâton est 7.2 sur 360 d’un cercle complet. Et cela se simplifie en un quinzième. Donc la distance entre le bâton et le puits est un quinzième de la circonférence de la Terre. Tout ce qu’il avait à faire c’était de mesurer la distance entre le puits et le bâton et de multiplier le résultat par 50. Ainsi, il avait une estimation de la circonférence de la Terre.

L’unité normalement utilisée pour mesurer la distance entre les villes en ce temps était le stade, qui était la longueur standard d’une piste de sports grecque. Un stade équivalait à 600 pieds grecs. Ératosthène a été engagé dans plusieurs relevés géographiques, où l’on mesurait les distances entre les villes en Egypte. Donc il put facilement mesurer la distance entre l’Alexandrie et Syène. Il a enregistré 5000 stades. Ensuite, il n’avait qu’à multiplier cela par 50 pour obtenir une estimation de 250000 stades pour la circonférence de la Terre.

Dans quelle mesure était-elle exacte ? Ça dépend. Selon de nombreuses sources, elle était remarquablement exacte. En fait, elle était plus exacte que celle de l’astronome grec Posidonios qui utilisait les angles des étoiles pour estimer la circonférence de la Terre après plus de 100 ans, et trouva une réponse beaucoup moins exacte. C’était cette estimation de Posidonios que Christophe Colomb avait utilisée plusieurs siècles plus tard, lorsqu’il partit à la recherche d’une différente route menant de l’Europe à l’Asie, et termina par atterrir sur le continent Américain.

Mais la Terre n’est pas vraiment exactement sphérique. Elle a la forme de ce qu’on appelle sphéroïde aplati. Donc elle ressemble à une sphère mais légèrement aplatie aux pôles – mais pas aussi exagérément comme sur mon diagramme. Avec toute notre technologie moderne, on sait que d’après la façon avec laquelle on mesure la circonférence, elle est comprise entre environ 40008 et 40075 kilomètres. Et puisque Ératosthène essayait de mesurer la circonférence à travers les pôles, donc la circonférence effective qu’il essayait de mesurer était proche de 40008 kilomètres.

C’est un peu difficile d’interpréter la réponse d’Ératosthène, 250000 stades, et la convertir en kilomètres pour faire une comparaison. Les fouilles archéologiques ont révélé que les stades sportifs grecs avaient différentes tailles. Ceux que nous connaissons vont de 157 mètres à 209 mètres de longueur. Donc cela signifie que cette circonférence peut aller de la plus petite valeur, 39250 kilomètres, jusqu’à la plus grande, 52250 kilomètres. Beaucoup de personnes proposent d’utiliser pour cette unité la longueur du stade olympique, 176,4 mètres, ce qui donne à la Terre une circonférence de 44100 kilomètres, plus grande d’environ 10 pourcent que la circonférence effective.

Mais plus important encore, comme avec tous les maths que nous avons appris à l’école, ce n’est pas juste à la réponse qu’il faut penser. C’est la méthode. Vous pouvez obtenir une réponse numérique presque parfaite à un problème. Mais elle peut n’être exacte que par coïncidence si vous aviez utilisé une fausse méthode. Le plus impressionnant c’est d’obtenir la bonne réponse tout en utilisant la bonne méthode pour l’obtenir.

En observant la méthode et les hypothèses d’Ératosthène, on découvre quelques petits problèmes. Et c’est important de les comprendre avant de parler de l’exactitude de son estimation pour la circonférence de la Terre. Lorsque vous faites des approximations et des petites fautes dans vos hypothèses, parfois, si vous avez de la chance, leurs effets s’annulent mutuellement. Et parfois, si vous n’avez pas de la chance, leurs effets s’entremêlent mutuellement et rendent votre réponse encore plus fausse.

Premièrement, Ératosthène a supposé que la Terre est parfaitement sphérique. Et comme nous l’avons déjà dit, cela n’est pas vrai. Faisons une comparaison entre une Terre sphérique et un sphéroïde aplati comme la Terre l’est vraiment. Vous pouvez voir que cette circonférence autour des pôles a la forme d’une ellipse. Et le même angle au centre marquera une partie de différente longueur de la circonférence selon la proximité de l’équateur ou du pôle.

Si cette distance de 5000 stades entre les deux villes est proche de l’équateur et qu’on la multiplie par 50, alors on est en train de surestimer la circonférence. Mais si elle est proche des pôles et qu’on la multiplie par 50, alors on est en train de la sous-estimer. En fait, les deux villes sont environ à 24.1 degrés et 31.2 degrés au nord de l’équateur. Donc il paraît que nous sommes dans la région qui mènera à une légère surestimation de la réponse que nous cherchons.

Deuxièmement, il a trouvé que le Soleil était juste au-dessus de Syène à midi le plus long jour de l’année. Mais d’après nos connaissances modernes qui sont plus exactes, on sait que cette ville était à moins d’un demi-degré plus au nord que le point auquel le Soleil aurait été juste au-dessus du tropique du Cancer. Cela signifie qu’il devait soustraire une petite partie de la longueur de l’ombre en Alexandrie pour obtenir la différence de la longueur d’ombre entre les deux villes. Et cela lui aurait donné un angle un peu plus petit entre la verticale et les rayons solaires. Donc il devait multiplier les 5000 stades par un peu plus que 50. Et cela a résulté en une sous-estimation de la circonférence.

Troisièmement, il a supposé que les rayons solaires sont tout à fait parallèles, mais en réalité ils sont plutôt évasés. Donc l’ombre qu’il a mesurée en Alexandrie était un peu plus longue que si les rayons étaient parallèles. Et cela avait résulté en une petite surestimation de l’angle du centre de la Terre, et par suite une petite sous-estimation de la circonférence de la Terre.

Quatrièmement, l’arrondi de ce nombre exprimant la distance entre les deux villes était probablement inexact bien que nous ne sachions pas pour de bon si c’est une surestimation ou une sous-estimation. Donc c’est très difficile de savoir comment cela a affecté les calculs finaux.

Enfin, il a supposé que l’Alexandrie était juste au nord de Syène et qu’elles étaient sur la même circonférence. Mais en fait, il y a environ trois degrés de différence entre leurs longitudes. Et en faisant quelques calculs avec le théorème de Pythagore, on trouve que la distance de 5000 stades entre les deux villes surpassait de huit pourcent la distance entre leurs latitudes dont il avait réellement besoin. Et cela a résulté en une surestimation de la circonférence de la Terre.

Donc en général, la méthode d’Ératosthène était essentiellement correcte bien que certaines de ses mesures aient résulté en de plus grandes réponses, alors que d’autres mesures aient annulé certaines de ces fautes, le laissant avec une réponse finale plus grande d’environ 10 pourcent dans l’ensemble.

Maintenant, réfléchir à l’exactitude de chaque pièce du puzzle et utiliser cela pour analyser à quel point notre réponse finale est correcte est très utile dans les mathématiques et l’ingénierie de la vie courante. Donc Ératosthène était certainement un érudit remarquable, et son initiative pour estimer la circonférence de la Terre est géniale. Mais son travail sert aussi à souligner pourquoi il ne faut pas trop se concentrer sur juste une seule réponse. On peut également essayer d’évaluer notre certitude de cette réponse, et quelles sont les raisonnables limites supérieures et inférieures étant données la source des erreurs de mesures et des erreurs d’arrondis qu’on peut avoir fait en chemin.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.