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Vidéo de question : Détermination du coefficient de frottement entre un plan incliné et un corps au repos Mathématiques

Un corps pesant 60 N est au repos sur un plan rugueux incliné par rapport à l'horizontale selon un angle dont le sinus vaut 3/5. Le corps est tiré vers le haut par une force de 63 N agissant parallèlement à la ligne de plus grande pente. Sachant que le corps est sur le point de se déplacer sur le plan, calculez le coefficient de frottement entre le corps et le plan.

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Transcription de vidéo

Un corps de poids 60 newtons est au repos sur un plan rugueux incliné par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus est de trois cinquièmes. Le corps est tiré vers le haut par une force de 63 newtons agissant parallèlement à la pente. Étant donné que le mouvement du corps est imminent sur le plan, trouvez le coefficient de frottement entre le corps et le plan.

Alors, il y a beaucoup d’informations dans cette question. On va commencer par esquisser un schéma. On a un plan incliné par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus est de trois cinquièmes. En d’autres termes, si nous notons cet angle 𝜃, le sinus de 𝜃 est de trois cinquièmes. Un corps au repos sur le plan incliné pèse 60 newtons. En d’autres termes, il exerce une force vers le bas sur le plan de 60 newtons. Et bien sûr, on sait que cela signifie qu’il existe une force de réaction du plan sur le corps qui agit perpendiculairement au plan. On nous dit que le corps est tiré vers le haut par une force de 63 newtons agissant parallèlement à la pente du plan incliné.

Le corps est sur le point de commencer à bouger. Cela signifie qu’une force de frottement agit dans le sens opposé au sens dans lequel il veut se déplacer. Alors, parce que le corps est sur le point de bouger, quand on pense aux forces parallèles au plan, on sait que leur somme est nulle. En d’autres termes, les forces qui agissent parallèlement et vers le haut du plan sont égales aux forces qui agissent parallèlement et vers le bas du plan. Une fois qu’on a considéré toutes les forces pertinentes, notre prochain travail est de regarder les forces perpendiculaires et parallèles au plan. Chaque fois qu’on s’intéresse par le frottement, on commence normalement par considérer les forces perpendiculaires au plan. Cela nous permettra de calculer une valeur ou une expression pour 𝑅.

Perpendiculairement au plan, on sait que le corps est en équilibre. Et donc la force 𝑅 doit être égale à la composante du poids qui agit perpendiculairement au plan. Et donc on doit tracer un triangle rectangle, dans lequel la force qui nous intéresse est 𝑥. Et on sait bien que puisque le corps est en équilibre dans cette direction, 𝑅 est égal à 𝑥. Mais qu’est-ce que 𝑥 ? Eh bien, on peut remarquer qu’on a un triangle rectangle. 𝑥 est le côté adjacent à l’angle donné, et on sait que l’hypoténuse est de 60 newtons. On peut donc utiliser le cosinus, tel que cos de 𝜃 est le côté adjacent sur l’hypoténuse, 𝑥 sur 60. Si on multiplie par 60, on obtient que 𝑥 est 60 cos 𝜃. Et par conséquent, 𝑅 lui-même doit également être 60 cos 𝜃.

Ensuite, on trouve la valeur exacte de cos 𝜃. On nous a dit que le sin 𝜃 est égal aux trois cinquièmes. Alors, on sait que le sin 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Donc, si on trace un petit triangle rectangle, le côté opposé à l’angle 𝜃 est de trois unités et l’hypoténuse est de cinq unités. En utilisant le triplet de Pythagore, trois au carré plus quatre au carré égale cinq au carré, on voit que le troisième côté de ce triangle est de quatre unités. Et cela signifie que cos 𝜃 qui est le côté adjacent sur l’hypoténuse est quatre cinquièmes. 𝑅 est donc 60 multiplié par quatre cinquièmes, c’est-à-dire 48 newtons. Finalement, on connait la valeur de 𝑅. On est prêts à trouver des forces parallèles à la pente.

N’oubliez pas que le corps est sur le point de bouger vers le haut du plan. Ainsi, les forces qui agissent parallèlement et vers le haut du plan doivent être exactement égales aux forces qui agissent parallèlement et vers le bas du plan. On a 63 newtons qui tirent le corps vers le haut du plan. On a dit qu’il y a une force de frottement qui agit dans le sens opposé. Et on doit également considérer la composante du poids qui est parallèle au plan. Appelons cela 𝑦. Alors, 𝑦 est le côté opposé à l’angle inclus 𝜃 sur notre schéma. On utilise le sinus, tel que sin 𝜃 est 𝑦 sur 60.

En multipliant par 60, on obtient que 𝑦 est égal à 60 sin 𝜃. Et donc on a une équation 63 égale au frottement plus 60 sin 𝜃. Mais qu’est-ce que le frottement ? Eh bien, on dit que le frottement est 𝜇𝑅, où 𝜇 est le coefficient de frottement et 𝑅 est la force de réaction entre le plan et le corps. Eh bien, nous savons que la force de réaction est de 48 newtons. Ainsi, la force de frottement est 𝜇 fois 48 ou 48𝜇.

De même, on a constaté plus tôt que le sinus de 𝜃 est trois cinquièmes. Donc, notre équation devient 63 est égale à 48𝜇 plus 60 fois les trois cinquièmes. 60 multiplié par trois cinquièmes est 36. Et puis on résout pour 𝜇 en soustrayant 36 des deux côtés, de sorte qu’on a 48𝜇 égale à 27. Finalement, on divise par 48. Et on obtient 𝜇, le coefficient de frottement, qui est ce qu’on cherche à calculer, égale à neuf sur 16.

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