Transcription de la vidéo
Une échelle 𝐴𝐵 pesant 34 kilogrammes et ayant une longueur de 14 mètres repose dans un plan vertical avec son extrémité 𝐵 sur un sol lisse et son extrémité 𝐴 contre un mur vertical lisse. L’extrémité 𝐵, qui se détermine à 3,3 mètres du mur, est attachée par une corde en un point du sol situé directement en dessous de 𝐴. Étant donné que le poids de l’échelle agit sur l’échelle elle-même en un point situé à 5,6 mètres de 𝐵, déterminez la tension dans la corde lorsqu’un homme de 74 kg se tient au milieu de l’échelle.
Avant de répondre à cette question, esquissons le scénario. Voici notre échelle reposant avec ses extrémités sur le sol lisse et contre le mur. On nous dit que l’extrémité 𝐵 se détermine à 3,3 mètres du mur. Et ici, elle est attachée par une corde. Nous allons ajouter la force qui maintient ce point 𝐵 en place. La force qui le maintient en place est la tension dans la corde. Ajoutons toutes les autres forces que nous pouvons déterminer.
On nous dit que le poids de l’échelle agit sur l’échelle elle-même en un point situé à 5,6 mètres de 𝐵. Nous avons donc cette force de 34 kilogrammes-force agissant vers le bas à cet endroit. On nous dit ensuite que l’homme pesant 74 kg se situe au milieu de l’échelle. C’est donc ce point qui se trouve à sept mètres de 𝐵. N’oubliez pas que notre échelle fait 14 mètres de long.
Nous pouvons ajouter deux autres forces à notre figure. Il s’agit des forces de réaction de l’échelle contre le mur et le sol. Elles agissent perpendiculairement à la surface sur laquelle l’échelle repose. Appelons-les 𝑅 indice 𝐴 pour la force de réaction en 𝐴 et 𝑅 indice 𝐵 pour la force de réaction en 𝐵. Maintenant, on nous dit que le sol et le mur sont lisses. Il n’y a donc pas d’autres forces telles que le frottement, par exemple. Alors comment allons-nous répondre à cette question ?
Eh bien, nous allons commencer par décomposer les forces à la fois dans le sens horizontal et vertical. Ensuite, nous allons considérer les moments agissant sur l’échelle. Commençons par considérer les forces dans la direction verticale. Maintenant, l’échelle est en équilibre ; elle ne bouge pas. Et donc nous pouvons dire que la somme des forces agissant dans la direction verticale, appelons cela 𝐹 indice 𝑦, est égale à zéro. Quelles sont donc les forces agissant dans la direction verticale ?
Et bien, nous avons la force de réaction agissant vers le haut. Prenons cela comme un élément positif. Ensuite, dans la direction descendante, nous avons la force du poids de l’échelle et du poids de l’homme. Donc, c’est un poids moins 34 et moins 74 kilogrammes-force. C’est bien sûr égal à zéro. C’est la somme de toutes nos forces dans la direction verticale. Moins 34 moins 74, c’est moins 108. Donc notre équation devient 𝑅 indice 𝐵 moins 108 est égale à zéro. Nous isolons alors 𝑅 indice 𝐵 en ajoutant 108 aux deux côtés. Et nous voyons que 𝑅 indice 𝐵, c’est-à-dire la force de réaction du sol sur l’échelle, est de 108 ou 108 kilogrammes-force.
Vous êtes peut-être habitué à travailler en newtons plutôt qu’en kilogrammes-force. Ne vous inquiétez pas trop. Le kilogramme-force est défini comme la force nécessaire pour faire accélérer un kilogramme de masse d’environ 9,8 mètres par seconde carrée. C’est juste une autre façon de mesurer une force. Tant que nous sommes cohérents sur cette question, nous sommes tout à fait d’accord pour garder le kilogramme-force pour la force.
Examinons maintenant ce qui se passe dans la direction horizontale. Une fois de plus, l’échelle est en équilibre. Nous pouvons donc dire que la somme de toutes les forces agissant dans cette direction, appelons cela 𝐹 indice 𝑥, est égale à zéro. Quelles sont donc les forces qui agissent dans cette direction ?
Nous avons une tension agissant vers la droite. Prenons cela comme le sens positif. Ensuite, nous avons la force de réaction en 𝐴, 𝑅 indice 𝐴, qui agit dans la direction opposée. Donc la somme des forces dans la direction horizontale est 𝑇 moins 𝑅 indice 𝐴, et c’est égal à zéro. Nous pouvons donc dire qu’en ajoutant 𝑅 indice 𝐴 aux deux côtés, la tension doit être égale à cette force de réaction.
Or, nous ne savons pas encore quelle est cette force de réaction. Nous ne sommes donc pas encore en mesure de calculer la tension. Nous allons ajouter cette information à côté de notre figure. Et ensuite, nous allons libérer de l’espace et considérer les moments. Mais avant cela, nous allons simplement déterminer la taille de l’angle intérieur. C’est l’angle que l’échelle fait avec le sol. J’ai appelé cela 𝜃.
Puisque le mur est vertical, on peut dire que l’échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle. Nous voyons que l’angle intérieur est 𝜃. La distance entre l’échelle de 𝐵 et le mur est de 3,3 mètres. Et la longueur de l’échelle est de 14 mètres. En fait, il y a deux choses que nous pourrions faire maintenant. Nous pourrions déterminer la taille de cette longueur ici. Appelons cela 𝑥 ou 𝑥 mètres. Cela nous permettra ensuite de créer des expressions pour cos de 𝜃, sin de 𝜃, et donc, si nous en avons besoin, tan de 𝜃. Mais nous allons en fait calculer la valeur de 𝜃.
Nous connaissons la longueur de l’hypoténuse et de l’adjacente, nous allons donc utiliser le rapport cosinus. Le cos de 𝜃 est adjacent sur l’hypoténuse. Dans ce cas, le cos de 𝜃 est donc de 3,3 divisé par 14. En prenant le cos inverse des deux côtés, nous voyons que 𝜃 est le cos inverse de 3,3 sur 14, soit 76,366 et ainsi de suite en degrés. Ajoutons cela à notre figure. Et nous sommes maintenant prêts à prendre quelques instants. Nous allons prendre quelques instants au sujet de 𝐵.
Nous pourrions prendre des moments par rapport à n’importe quel point de l’échelle. Mais il peut être plus facile de prendre quelques instants sur le point où l’échelle touche le sol. Nous allons prendre le sens inverse des aiguilles d’une montre pour être sûrs. Mais que voulons-nous dire lorsque nous parlons de moments ?
Un moment est l’effet de rotation de la force. Et nous disons que le moment d’une force est la force multipliée par la distance 𝑑. Mais il est important de se rappeler que la distance est la distance perpendiculaire entre le pivot et la ligne d’action de la force. Considérons donc les moments par rapport au point 𝐵. Examinons le poids de l’échelle. Le poids de l’échelle agit dans la direction descendante. Nous devons donc déterminer la composante de cette force qui agit perpendiculairement à l’échelle.
Et nous pouvons donc ajouter un petit triangle rectangle. Mais nous allons en fait augmenter la taille de ce triangle pour pouvoir voir ce qui se passe. Nous avons donc la force descendante, appelons-la 34, que nous savons être un kilogrammes-force. Et nous essayons de déterminer la composante de cette force qui est perpendiculaire à l’échelle. Appelons cela 𝑥, bien que nous sachions que ce sera 𝑥 kilogramme-force. Cet angle est aussi 𝜃. Il est de 76,3 et ainsi de suite.
Et donc nous voyons que nous pouvons relier le côté adjacent et l’hypoténuse en utilisant le rapport cosinus, ce qui nous donne cos 𝜃 est 𝑥 sur 34 ou 𝑥 est égal à 34 cos 𝜃. Ce moment agit à l’encontre de la direction que nous avons définie comme étant positive. Ainsi, la force multipliée par la distance sera moins 34 cos 𝜃 multiplié par 5,6. Et cela parce que nous avons dit que le poids de l’homme agit en un point situé à 5,6 mètres de 𝐵. cos de 𝜃 est cos de 76,3 et ainsi de suite. Et si nous utilisons cette valeur exacte, nous obtenons 33 sur 140. C’est très logique puisque nous avons défini à l’origine que le cos de 𝜃 était égal à 3,3 sur 14. Ces deux valeurs sont équivalentes.
Nous allons maintenant répéter ce processus pour la force de l’homme. Une fois de plus, nous pouvons ajouter un triangle rectangle. Ce triangle est presque identique au triangle que nous avons examiné précédemment. Cependant, l’hypoténuse est à 74. Appelons la longueur que nous recherchons, qui est la composante de cette force qui agit perpendiculairement à l’échelle, 𝑦. Cette fois, nous obtenons cos 𝜃 est 𝑦 plus 74. Donc 𝑦 est 74 cos 𝜃. Son moment est donc moins 74 cos 𝜃 fois sept. Il est négatif parce qu’il agit dans le sens des aiguilles d’une montre. Et nous multiplions cette force par sept parce que l’homme se détermine au milieu de l’échelle. Il est à sept mètres de 𝐵. Encore une fois, nous pouvons remplacer cos 𝜃 par 33 sur 140. C’est le cos de 76,3 et ainsi de suite. Quelles autres forces avons-nous ?
Nous ne tenons pas compte des forces qui agissent au point 𝐵. Et ce, parce qu’elles sont à zéro mètre de 𝐵. Donc si nous devions calculer leur moment, nous multiplierions par zéro. Nous avons cependant obtenu cette force de réaction sur le site 𝐴. Nous devons donc déterminer la composante de cette force, qui agit perpendiculairement à l’échelle. Donc, une fois de plus, nous ajoutons un triangle rectangle.
Une fois de plus, l’angle intérieur dans ce triangle est 𝜃. Et cela parce que la force de réaction 𝐴 est parallèle au sol. Et nous savons que les angles alternés sont égaux. Nous cherchons à déterminer un moyen de relier 𝑍, qui est la composante de cette force, qui agit perpendiculairement à l’échelle, avec la force de réaction de 𝐴. Cette fois, nous avons affaire à l’opposé et à l’hypoténuse. Nous allons donc utiliser le rapport sinusoïdal. Donc le sinus 𝜃 est 𝑍 sur 𝑅𝐴. Et en multipliant les deux côtés de cette équation par 𝑅 indice 𝐴, on voit que 𝑍 est égal à 𝑅 indice 𝐴 fois sin 𝜃.
Nous pouvons déterminer le moment de cette force en multipliant cette composante perpendiculaire par la distance qui sépare 𝐴 de 𝐵. C’est donc 𝑅 indice 𝐴 fois sin 𝜃 fois 14. Nous savons que l’échelle est en équilibre. La somme de tous ses moments est donc égale à zéro. Mais que pouvons-nous faire d’autre ici ?
Eh bien, nous pouvons remplacer 𝑅 indice 𝐴 par 𝑇. Nous avons calculé précédemment que 𝑇 serait égal à 𝑅 indice 𝐴. Nous pouvons également calculer la valeur du sinus 𝜃, mais nous le ferons dans un instant. Calculons la valeur de moins 34 fois 33 sur 140 fois 5,6 et de moins 74 fois 33 sur 140 fois 7. Nous constatons alors que leur somme est moins 8349 sur 50. En ajoutant cette valeur aux deux côtés de notre équation, nous obtenons 14 sinus 𝜃 fois 𝑇 égale 8349 sur 50.
Bien sûr, 14 sinus 𝜃 nous pouvons maintenant calculer la valeur de. Nous avons 𝜃 comme 76,3 et ainsi de suite. Idéalement, nous utilisons la valeur exacte de 𝜃. Et lorsque nous le faisons, nous obtenons 13,6 et ainsi de suite. Pour résoudre en 𝑇, nous devons diviser les deux côtés de notre équation par cette valeur. Ainsi, 𝑇 est égal à 8349 sur 50 divisé par 13,6, ce qui nous donne 12,272 et ainsi de suite. En arrondissant cette réponse au centième près et en continuant avec les unités de force que nous avons définies au départ, nous constatons que la tension est approximativement égale à 12,27 kilogrammes-force.
