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Vidéo de question : Déterminer la limite des fonctions racines en un point par substitution directe Mathématiques

Déterminez lim_(𝑥 → 9) √(4𝑥²−9𝑥+1).

06:06

Transcription de vidéo

Déterminez la limite quand 𝑥 tend vers neuf de la racine carrée de quatre 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus un.

Il se trouve que cette limite peut être déterminée par substitution directe. 𝑥 tend vers la valeur neuf. Donc il suffit de remplacer 𝑥 par neuf dans l’expression qui nous est donnée.

On obtient la racine carrée de quatre fois neuf au carré moins neuf fois neuf plus un. Il ne nous reste plus qu’à calculer ce radical. Le radicande est égal à 244. On peut ensuite utiliser le fait que 244 est égal à deux au carré fois 61 pour simplifier notre radical. Cela nous permet de le réécrire sous la forme deux fois la racine carrée de 61. Il s’agit de la valeur qu’on obtient pour cette limite en utilisant la substitution directe. Mais comment justifier le fait d’utiliser la substitution directe pour déterminer cette limite?

Faisons un peu de place pour en discuter. Soit 𝑓 de 𝑥, la fonction dont on veut déterminer la limite, c’est-à-dire la racine carrée de quatre 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus un. Donc la limite qu’on cherche à déterminer est la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers neuf. On a supposé que pour calculer cette limite il suffisait de remplacer directement 𝑥 par neuf, ce qui donne simplement 𝑓 de neuf du côté droit de l’équation.

Et ici, vous pouvez vérifier que la racine carrée de quatre fois neuf au carré moins neuf fois neuf plus un est bien égal à 𝑓 de neuf. Vous le savez peut-être déjà, mais signalons au passage que cette égalité est une définition de la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥 égale neuf. Ne vous inquiétez pas si vous n’aviez encore jamais vu cette définition. Ici, notre objectif est de justifier notre utilisation de la substitution directe en nous appuyant sur les propriétés des limites.

Tout d’abord, on va utiliser le fait qu’il est possible d’inverser l’ordre dans lequel on prend la limite et la racine carrée. Donc la limite de la racine carrée de quatre 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus un est égale à la racine carrée de la limite de quatre 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus un.

Et vous savez peut-être déjà qu’il est possible d’utiliser la substitution directe pour déterminer la limite sous la racine. On obtiendrait alors à nouveau la ligne ci-dessus, puis notre réponse.

Mais on peut aussi utiliser une autre propriété des limites, qui est que la limite d’une somme de fonctions est la somme des limites de ces fonctions. Ce qui est vrai peu importe le nombre de fonctions dans la somme. Donc on peut prendre la limite de chacun de nos termes séparément. Et ces trois nouvelles limites peuvent être déterminées par substitution directe. On obtiendrait alors à nouveau notre première ligne.

Mais puisque nous sommes arrivés jusqu’ici, autant justifier également pourquoi on peut utiliser la substitution directe pour calculer ces trois limites. La limite d’un nombre multiplié par une fonction est simplement égale à ce nombre multiplié par la limite de la fonction. Donc la limite de quatre fois 𝑥 au carré est égale à quatre fois la limite de 𝑥 au carré. Et la limite de neuf fois 𝑥 est égale à neuf fois la limite de 𝑥. On laisse la limite de un telle quelle.

On peut également réécrire la limite de 𝑥 au carré comme le carré de la limite de 𝑥. En effet, il existe une autre propriété des limites selon laquelle la limite de la puissance d’une fonction est égale à la puissance de la limite de cette fonction.

On a maintenant exprimé la valeur qu’on cherche à déterminer en fonction de la limite de 𝑥 quand 𝑥 tend vers neuf et de la limite de la fonction constante un quand 𝑥 tend vers neuf. Et si l’on admet que les valeurs de ces limites sont respectivement neuf et un, alors on retrouve une fois de plus notre première ligne. Mais devrions-nous ici aussi justifier l’utilisation de la substitution directe, même pour des fonctions aussi simples?

Eh bien non, car il s’agit dans ce cas de propriétés des limites. Pour tout nombre 𝑐, la limite quand 𝑥 tend vers 𝑐 de la fonction identité 𝑥 est simplement 𝑐. Et pour tout nombre 𝑐, la limite quand 𝑥 tend vers 𝑐 d’une fonction constante 𝑘 est simplement la constante 𝑘.

On pourrait avoir l’impression de tricher en utilisant cela et penser qu’il s’agit simplement de valeurs de limites et pas de propriétés. Mais le fait est que si on ne pouvait écrire une limite qu’en fonction d’autres limites, alors on ne pourrait jamais déterminer aucune limite.

Les propriétés des limites, y compris celles de la limite de la fonction identité 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 et de la limite d’une fonction constante 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑘, sont les ingrédients de base dont on a besoin pour calculer d’autres limites. Si les propriétés qu’on a utilisées vous semblent raisonnables, alors vous conviendrez également que la limite quand 𝑥 tend vers neuf de la racine carrée de quatre 𝑥 au carré moins neuf 𝑥 plus un est égale à deux fois la racine de 61. Si vous n’êtes pas d’accord avec ce résultat, alors vous devriez être en mesure d’indiquer la propriété des limites que vous contestez.

Toutefois, les propriétés des limites qu’on a utilisées ne sont pas arbitraires. Elles semblent même plutôt sensées quand on réfléchit de manière intuitive à ce qu’est une limite. On peut également prouver ces propriétés en se basant sur une définition plus formelle des limites impliquant des epsilons et des deltas que vous pourriez être amenés à étudier plus tard.

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