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Si le vecteur 𝐀 est égal à moins 𝐢 moins deux 𝐣, le vecteur 𝐁 est égal à moins quatre 𝐢 moins quatre 𝐣, le produit vectoriel des vecteurs 𝐀 et 𝐂 est moins trois 𝐤, et le produit vectoriel des vecteurs 𝐂 et 𝐁 est quatre 𝐤, alors déterminez le vecteur 𝐂.
Dans cette question, on nous donne les vecteurs 𝐀 et 𝐁 qui se trouvent dans le repère cartésien avec 𝐢 et 𝐣 comme vecteurs unitaires. On nous donne également le produit vectoriel des vecteurs 𝐀 et 𝐂 ainsi que le produit vectoriel des vecteurs 𝐂 et 𝐁. Et on nous demande de trouver le vecteur 𝐂.
Nous allons poser ce vecteur égal à 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣, où 𝑥 et 𝑦 sont des constantes. Rappelons que si nous avons deux vecteurs 𝐦 et 𝐧 tels que 𝐦 est égal à 𝑒𝐢 plus 𝑓𝐣 et 𝐧 est égal à 𝑔𝐢 plus ℎ𝐣, alors le produit vectoriel des vecteurs 𝐦 et 𝐧 est égal au déterminant de la matrice de dimensions deux par deux 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ multiplié par le vecteur unitaire 𝐤, où le vecteur unitaire 𝐤 est perpendiculaire au plan 𝑥𝑦.
Commençons par considérer le produit vectoriel des vecteurs 𝐀 et 𝐂. En utilisant notre règle générale, cela doit être égal au déterminant de la matrice deux par deux moins un, moins deux, 𝑥, 𝑦 multiplié par le vecteur unitaire 𝐤. Le déterminant de cette matrice est égal à moins un multiplié par 𝑦 moins 𝑥 multiplié par moins deux. Ceci est égal à moins 𝑦 plus deux 𝑥. Ainsi, le produit vectoriel des vecteurs 𝐀 et 𝐂 est moins 𝑦 plus deux 𝑥 multiplié par le vecteur unitaire 𝐤. Nous savons déjà que cela est égal à moins trois 𝐤. Nous pouvons donc conclure que moins trois est égal à moins 𝑦 plus deux 𝑥.
En ajoutant 𝑦 et trois aux deux membres de cette équation, nous avons 𝑦 égal deux 𝑥 plus trois. Nous appellerons cette équation une et répétons maintenant le processus pour le produit vectoriel des vecteurs 𝐂 et 𝐁. Ceci est égal au déterminant de la matrice deux par deux 𝑥, 𝑦, moins quatre, moins quatre multiplié par 𝐤. Le déterminant de la matrice est 𝑥 multiplié par moins quatre moins moins quatre multiplié par 𝑦. Cela se simplifie en moins quatre 𝑥 plus quatre 𝑦 de sorte que le produit vectoriel de 𝐂 et 𝐁 est moins quatre 𝑥 plus quatre 𝑦 multiplié par le vecteur unitaire 𝐤. On nous dit que cela est égal à quatre 𝐤. Et moins quatre 𝑥 plus quatre 𝑦 est donc égal à quatre.
Nous pouvons diviser les deux membres de cette équation par quatre de sorte qu’un soit égal à moins 𝑥 plus 𝑦. Et en ajoutant 𝑥 des deux côtés, nous avons 𝑦 est égal à 𝑥 plus un. Nous avons maintenant un système d’équations que nous pouvons résoudre pour calculer les valeurs de 𝑥 et 𝑦. Puisque 𝑦 est égal à deux 𝑥 plus trois et 𝑥 plus un, alors ces deux expressions doivent être égales entre elles. Nous pouvons alors soustraire 𝑥 et trois des deux membres de l’équation. Deux 𝑥 moins 𝑥 est 𝑥, et un moins trois est moins deux, ce qui nous donne 𝑥 est égal à moins deux. Nous pouvons alors substituer cette valeur de 𝑥 dans l’équation une ou l’équation deux.
Dans l’équation deux, nous avons 𝑦 est égal à moins deux plus un, ce qui nous donne 𝑦 est égal à moins un. Le vecteur 𝐂 est donc égal à moins deux 𝐢 moins 𝐣. Si 𝐀 est égal à moins 𝐢 moins deux 𝐣, 𝐁 est égal à moins quatre 𝐣 moins quatre 𝐣, le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐂 est moins trois 𝐤, et le produit vectoriel de 𝐂 et 𝐁 est quatre 𝐤, alors le vecteur 𝐂 est égal à moins deux 𝐢 moins 𝐣.
