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Vidéo de question : Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’un cercle compte tenu de l’angle que fait la tangente avec l’axe des 𝑥 Mathématiques

En un point de la courbe d’équation 𝑥² + 3𝑥 + 𝑦² + 5𝑦 + 4 = 0, avec 𝑥 < 0 et 𝑦 < 0, la tangente forme un angle de 9𝜋/4 avec l’axe des 𝑥. Déterminez l’équation de la tangente en ce point.

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Transcription de vidéo

En un point de la courbe d’équation 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus 𝑦 au carré plus cinq 𝑦 plus quatre est égal à zéro avec 𝑥 est inférieur à zéro et 𝑦 est inférieur à zéro, la tangente forme un angle de neuf 𝜋 sur quatre avec l’axe des 𝑥 positif. Déterminez l’équation de la tangente en ce point.

On nous donne l’équation d’une courbe en fonction de 𝑥 et 𝑦. On nous donne également des informations sur l’angle que fait la tangente avec l’axe des 𝑥 positifs. Maintenant, avant de faire quoi que ce soit, réfléchissons réellement à ce que cela signifie pour la tangente de faire un angle de neuf 𝜋 sur quatre radians avec l’axe des 𝑥. L’axe des 𝑥 positifs est ici. Un tour complet, 360 degrés, est un tour de deux 𝜋 radians ou huit 𝜋 sur quatre radians. Puisque la tangente fait un angle de neuf 𝜋 sur quatre radians avec l’axe des 𝑥 positifs, nous devons parcourir un autre 𝜋 sur quatre radians à partir de ce tour complet.

Rappelez-vous que 𝜋 sur quatre radians équivaut à 45 degrés. Ainsi, nous pouvons construire un triangle rectangle sur notre tangente. Nous savons que ce triangle doit être isocèle puisque deux de ses angles sont de 45 degrés. Cela signifie que si nous devions calculer la pente ou la variation de 𝑦 divisée par la variation de 𝑥, nous finirions par constater que la pente est égale à un. Ainsi, étant données les informations sur la tangente, nous connaissons sa pente, mais nous devons trouver un point par lequel elle passe. Alors, comment allons-nous faire cela ?

Bien, nous allons utiliser l’équation de la courbe. Nous savons que la pente de la tangente est trouvée en calculant la dérivée en un point donné. Nous avons obtenu une équation qui est définie implicitement. Ainsi, nous allons utiliser la dérivation implicite pour dériver les deux côtés de notre équation par rapport à 𝑥. Rappelez-vous, ceci est juste un cas spécifique de la règle de dérivation en chaîne. Pour dériver une fonction 𝑦 par rapport à 𝑥, nous dérivons cette fonction par rapport à 𝑦, puis multiplions cela par d𝑦 sur d𝑥.

Dérivons terme par terme. Nous commençons par dériver 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Bien, rappelez-vous pour dériver un terme de puissance, nous multiplions le terme entier par l’exposant et réduisons cet exposant de un. Ainsi, la dérivée de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est deux 𝑥. Ensuite, nous allons dériver trois 𝑥 par rapport à 𝑥, nous obtenons trois. Mais qu’en est-il du troisième terme, la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 ? Bien, rappelez-vous, nous commençons par dériver cela par rapport à 𝑦. La dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 est deux 𝑦. Nous multiplions ensuite cela par d𝑦 sur d𝑥. Ainsi, notre troisième terme est deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥.

Nous répétons ce processus pour la dérivée de cinq 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous le dérivons par rapport à 𝑦, soit cinq, puis nous multiplions par d𝑦 par d𝑥. Enfin, nous savons que la dérivée de toute constante est nulle. Ainsi, nous trouvons que deux 𝑥 plus trois plus deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 plus cinq d𝑦 sur d𝑥 doit être égal à zéro. Notre prochain travail consiste à factoriser par d𝑦 sur d𝑥. Lorsque nous faisons cela, nous constatons que notre équation devient d𝑦 sur d𝑥 fois deux 𝑦 plus cinq plus deux 𝑥 plus trois est égal à zéro.

Maintenant, nous voulons exprimer d𝑦 sur d𝑥 comme une fonction de 𝑥 et 𝑦. Ainsi, nous soustrayons deux 𝑥 et trois des deux côtés, puis divisons par deux 𝑦 plus cinq. Ainsi, nous avons une expression pour la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Soit moins deux 𝑥 moins trois divisé par deux 𝑦 plus cinq.

Maintenant, rappelez-vous, nous avons dit que la pente de notre tangente était de un, alors mettons cela égal à un. Notre objectif est de trouver une expression pour 𝑦 en fonction de 𝑥. Ainsi, nous multiplions par deux 𝑦 plus cinq. Soustrayez cinq des deux côtés pour obtenir deux 𝑦 égale moins deux 𝑥 moins huit, puis divisez par deux. Ainsi, nous obtenons 𝑦 est égal à moins 𝑥 moins quatre. Pourquoi avons-nous fait cela ? Bien, nous pouvons maintenant substituer 𝑦 est égal à moins 𝑥 moins quatre dans notre équation d’origine. Nous obtenons 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus moins 𝑥 moins quatre le tout au carré plus cinq fois moins 𝑥 moins quatre plus quatre est égal à zéro.

En distribuant les parenthèses, nous voyons que moins 𝑥 moins quatre au carré donne 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus 16 et que cinq fois moins 𝑥 moins quatre donne moins cinq 𝑥 moins 20. Toute cette expression sur le côté gauche se simplifie en deux 𝑥 au carré plus six 𝑥. Nous pouvons factoriser l’expression de gauche pour nous aider à trouver 𝑥. Lorsque nous le faisons, nous obtenons deux 𝑥 fois 𝑥 plus trois égale zéro.

Bien, nous savons que l’une des solutions de cette équation est trouvée en résolvant deux 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, 𝑥 est égal à zéro. L’autre solution est la valeur de 𝑥 telle que 𝑥 plus trois égale zéro. Bien, cela donne 𝑥 est égal à moins trois. Bien sûr, on nous a dit que 𝑥 est inférieur à zéro. Nous allons donc choisir 𝑥 est égal à moins trois. Nous utilisons l’équation 𝑦 égale moins 𝑥 moins quatre pour trouver la valeur correspondante de 𝑦. Nous obtenons 𝑦 est égal à moins moins trois moins quatre, ce qui est égal à moins un. Nous savons maintenant que le gradient ou la pente de notre tangente est un, et nous savons qu’elle passe par le point avec les coordonnées moins trois, moins un.

Notre dernier travail consiste à substituer tout ce que nous savons dans l’équation d’une droite. Nous obtenons 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un. Nous obtenons 𝑦 moins moins un est égal à un fois 𝑥 moins moins trois. En distribuant nos parenthèses, nous obtenons 𝑦 plus un égale 𝑥 plus trois. Puis, nous soustrayons 𝑥 et trois des deux côtés.

L’équation de la tangente à notre courbe au point que nous avons calculé comme étant moins trois, moins un est donc moins 𝑥 plus 𝑦 moins deux est égal à zéro.

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