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Déterminez la primitive de 𝐹 de la fonction 𝑓 minuscule de 𝑥 égale cinq 𝑥 puissance quatre plus quatre 𝑥 au cube qui vérifie 𝐹 de un égale moins deux.
La primitive générale d'une fonction 𝑓 minuscule de 𝑥 est la fonction 𝐹 majuscule de 𝑥 plus 𝐶 telle que la dérivée première de 𝐹 majuscule de 𝑥, 𝐹 prime de 𝑥, soit égale à 𝑓 de 𝑥 et 𝐶 est une constante réelle quelconque. Une primitive n'est pas unique et il existe de nombreuses fonctions qui diffèrent selon une constante et qui ont la même dérivée. Seulement, dans ce cas précis, on nous a donné un peu plus d'informations. La valeur de la primitive 𝐹 lorsque 𝑥 égale un est moins deux. Ainsi, nous allons pouvoir déterminer la valeur de 𝐶 qui donne une primitive unique satisfaisant cette condition. La fonction 𝑓 de 𝑥 dans cette question est un polynôme. Il s’agit de la somme de deux termes correspondants chacun à des constantes multipliées par des puissances de 𝑥.
Une primitive est linéaire, donc la primitive d'une somme est la somme des primitives. Nous pouvons donc trouver les primitives de chaque terme séparément et les additionner. Le calcul des primitives est le processus inverse de la dérivation. Rappelant la règle de la dérivation de la puissance, nous savons que la dérivée première de 𝑥 puissance 𝑎 plus un sur 𝑎 plus un est égale à 𝑥 puissance 𝑎, à condition que 𝑎 ne soit pas égale à moins un. En travaillant à l’envers, la primitive générale de 𝑥 puissance 𝑎 est donc 𝑥 puissance 𝑎 plus un sur 𝑎 plus un plus une constante d’intégration 𝐶. Encore une fois, 𝑎 ne doit pas être égal à moins un pour que ce résultat soit valide.
Il en découle également que la primitive d'une constante multipliée par 𝑓 de 𝑥 est juste cette constante multipliée par la primitive. Si nous appliquons ces résultats au premier terme de 𝑓 de 𝑥, nous trouvons que la primitive de cinq 𝑥 puissance quatre est cinq 𝑥 puissance cinq sur cinq plus une constante 𝐶 un. En appliquant les mêmes résultats au second terme, nous obtenons la primitive quatre 𝑥 puissance quatre sur quatre plus une constante 𝐶 deux. Nous pouvons donc simplifier cela en 𝑥 puissance cinq plus 𝑥 puissance quatre. Les deux constantes d'intégration 𝐶 un et 𝐶 deux peuvent être combinées en une seule constante 𝐶.
Or, il s'agit de la primitive 𝐹 la plus générale de la fonction 𝑓 de 𝑥. Seulement, n'oubliez pas qu'on nous a donné une condition initiale. Nous pouvons utiliser cette condition pour déterminer la constante 𝐶, qui donne une unique primitive satisfaisant 𝐹 de un égale moins deux. En substituant 𝑥 égale un et 𝐹 de 𝑥 égale moins deux, nous obtenons l'équation moins deux égale un puissance cinq plus un puissance quatre plus 𝐶. Un à la puissance cinq et un à la puissance quatre sont tous les deux égaux à un. En soustrayant donc deux de chaque côté, nous trouvons que la valeur de 𝐶 est moins quatre.
En substituant cette valeur de 𝐶 à notre fonction 𝐹 de 𝑥, nous obtenons notre réponse. La primitive unique 𝐹 de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à cinq 𝑥 puissance quatre plus quatre 𝑥 au cube satisfaisant 𝐹 de un égale moins deux est 𝐹 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance cinq plus 𝑥 à la puissance quatre moins quatre.
