Transcription de la vidéo
Déterminez la forme cartésienne de l'équation de la droite passant par le point de coordonnées moins quatre, un, deux et qui forme des angles de même mesure avec les axes du repère.
Nous allons commencer par rappeler que la forme cartésienne de l’équation d’une droite est 𝑥 moins 𝑥 un sur 𝑎 égale 𝑦 moins 𝑦 un sur 𝑏 égale 𝑧 moins 𝑧 un sur 𝑐, où la droite a pour vecteur directeur 𝑎, 𝑏, 𝑐 et passe par le point de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un.
On nous dit dans cette question que la droite passe par le point de coordonnées moins quatre, un, deux. Cela signifie que 𝑥 un est égal à moins quatre, 𝑦 un est égal à un et 𝑧 un est égal à deux. Au premier abord, il peut sembler que nous n’avons pas d’informations sur le vecteur directeur de la droite. Nous savons cependant que la droite forme des angles de même mesure avec les axes du repère.
Si nous considérons le plan en deux dimensions 𝑥𝑦, une des droites qui forme des angles de même mesure avec les deux axes du repère a un coefficient directeur de un. Cela signifie que pour chaque déplacement d’une unité dans le sens des 𝑥, on se déplace d’une unité dans le sens des 𝑦. Cette droite a donc pour vecteur directeur un, un. Nous pouvons étendre cela en trois dimensions en disant que le vecteur directeur qui forme des angles de même mesure avec les axes des 𝑥, des 𝑦 et des 𝑧 est le vecteur un, un, un. Les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont donc toutes égales à un. Soustraire moins quatre à 𝑥 revient à ajouter quatre à 𝑥. Donc, la première expression est 𝑥 plus quatre sur un. Cela est égal à 𝑦 moins un sur un et à 𝑧 moins deux sur un.
L’équation cartésienne de la droite qui passe par le point moins quatre, un, deux et qui forme des angles de même mesure avec les axes du repère est donc 𝑥 plus quatre sur un égale 𝑦 moins un sur un égale 𝑧 moins deux sur un.
