Transcription de la vidéo
Une pierre qui a une masse de 2,4 kilogrammes est pivotée dans un cercle vertical à une vitesse angulaire constante de 7,2 radians par seconde. La pierre est attachée à une corde uniforme d’une longueur de 0,25 mètre, comme le montre la figure. La longueur de la corde est la même que le rayon du cercle tout au long du mouvement de la pierre. Quelle est la différence entre l’intensité de la force que la corde applique à la pierre au point 𝐴, où la corde pointe verticalement vers le haut, et l’intensité de la force que la corde applique à la pierre au point 𝐵, où la corde pointe horizontalement ? Donne ta réponse au newton le plus proche.
D’accord, donc dans cette première partie de la question, on nous demande de trouver la différence entre l’intensité de la force que la corde applique sur la pierre au point 𝐴, donc c’est ce point ici, par rapport au point 𝐵, c’est ce point-là. On sait qu’au point 𝐴, la corde pointe verticalement vers le haut, alors qu’au point 𝐵, la corde pointe horizontalement. La question nous dit que la masse de la pierre est de 2,4 kilogrammes. Si on note cette masse comme 𝑚, alors on a que 𝑚 est égal à 2,4 kilogrammes. On nous dit également que la corde à laquelle la pierre est attachée a une longueur de 0,25 mètre et que cette longueur est la même que le rayon du cercle tout au long du mouvement de la pierre. Par conséquent, cette longueur nous donne le rayon du mouvement circulaire de la pierre. On va appeler ce rayon 𝑟 de sorte que 𝑟 soit égal à 0,25 mètres.
La dernière information qui nous est donnée est que la pierre est pivotée dans un cercle vertical à une vitesse angulaire constante de 7,2 radians par seconde. On va appeler cette vitesse angulaire 𝜔 de sorte que 𝜔 soit égal à 7,2 radians par seconde. Puisque notre pierre subit un mouvement circulaire, on sait qu’elle subira une force centripète. Rappelons que la force centripète subie par un objet en mouvement circulaire, qu’on a nommé ici 𝐹 indice 𝐶, est égale à la masse de cet objet, 𝑚, multipliée par le rayon du cercle, 𝑟, multipliée par le carré de la vitesse angulaire, 𝜔.
Alors, dans notre cas, le rayon du cercle est constant de valeur 0,25 mètre. La vitesse angulaire est constante de valeur 7,2 radians par seconde. Et bien sûr, la masse de la pierre est également constante de valeur 2,4 kilogrammes. Puisque les trois grandeurs à droite de cette équation sont constantes, cela signifie que la valeur de 𝐹 indice 𝐶, la force centripète subie par la pierre, doit également rester constante. En d’autres termes, cette force centripète doit avoir la même intensité en tous points du cercle. Cela signifie notamment qu’elle doit avoir la même valeur au point 𝐴 qu’au point 𝐵.
Toutefois, cette force centripète sur la pierre provient de deux sources différentes. On a la tension agissant sur la pierre exercée par la corde, et on a aussi la force due à la pesanteur. La force de la corde agira toujours vers le centre du cercle puisque la corde s’étend du centre du cercle jusqu’au rayon de la trajectoire de la pierre. De plus, on sait que la pesanteur attire les choses vers la terre. Ainsi, la force due à la pesanteur agira toujours verticalement vers le bas, peu importe où se trouve la pierre. Donc, ajoutons ces deux forces sur notre figure aux points marqués 𝐴 et 𝐵.
Tout d’abord, considérons le point 𝐴. On a la tension de la corde, qui agit vers le centre du cercle, qui dans ce cas est verticalement vers le bas. Appelons cette force de la corde au point 𝐴 comme 𝐹 indice 𝐴. Ensuite, on a aussi notre force due à la pesanteur, qui, on le sait, agit toujours verticalement vers le bas. Cette force a une intensité de 𝑚 multipliée par 𝑔, où 𝑚, qui est de 2,4 kilogrammes, est la masse de la pierre et 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel. La valeur de 𝑔 sur Terre à deux chiffres significatifs est égale à 9,8 mètres par seconde au carré.
Ensuite, considérons les forces agissant sur la pierre au point 𝐵. Tout d’abord, nous avons la force de la corde, qui agit vers le centre du cercle. Appelons cette force de la corde au point 𝐵 comme 𝐹 indice 𝐵. Ensuite, on a aussi la force due à la gravité, qui, on le sait, agit toujours verticalement vers le bas. L’intensité de cette force est égale à 𝑚 multipliée par 𝑔, exactement comme au point 𝐴.
En regardant le point 𝐴, on voit que les deux forces agissent vers le centre du cercle. Cela signifie que les deux forces contribuent à la force centripète 𝐹 indice 𝐶. Ainsi, au point 𝐴, on peut dire que la force centripète 𝐹 indice 𝐶 est égale à la force de la corde 𝐹 indice 𝐴 plus la force due à la gravité 𝑚 multipliée par 𝑔. Cependant, si on regarde le point 𝐵, alors on voit que seule la force de la corde agit vers le centre du cercle. La force due à la gravité est complètement perpendiculaire à cette direction. Cela signifie que cette force due à la gravité 𝑚 multipliée par 𝑔 ne contribue pas à la force centripète au point 𝐵. Ainsi, au point 𝐵, on a simplement que la force centripète 𝐹 indice 𝐶 est égale à la force fournie par la corde 𝐹 indice 𝐵.
Rappelons que la question nous demandait de trouver la différence entre la valeur de la force appliquée par la corde au point 𝐴 et au point 𝐵. C’est la différence entre la valeur de 𝐹 indice 𝐴 et 𝐹 indice 𝐵. Alors, calculons ces deux valeurs et trouvons leur différence. En commençant par 𝐹 indice 𝐴, on va prendre cette équation et la réorganiser pour faire de 𝐹 indice 𝐴 le sujet. On peut le faire en soustrayant 𝑚 multiplié par 𝑔 des deux côtés de l’équation. Ensuite, on a que 𝐹 indice 𝐶 moins 𝑚 fois 𝑔 est égal à 𝐹 indice 𝐴. On peut alors utiliser cette équation pour la force centripète pour remplacer 𝐹 indice 𝐶 par 𝑚 fois 𝑟 fois 𝜔 au carré. Ensuite, on a que 𝑚 fois 𝑟 fois 𝜔 au carré moins 𝑚 fois 𝑔 est égal à 𝐹 indice 𝐴.
Puisqu’on connait les valeurs des grandeurs 𝑚, 𝑟, 𝜔 et 𝑔, on peut les remplacer à gauche de cette équation afin de calculer 𝐹 indice 𝐴. Lorsqu’on fait le remplacement, notre premier terme à gauche devient 2,4 kilogrammes, c’est notre masse 𝑚, multipliée par 0,25 mètres, notre rayon 𝑟, multiplié par le carré de 7,2 radians par seconde, c’est notre vitesse angulaire 𝜔. Le deuxième terme, qu’on soustrait du premier, devient 2,4 kilogrammes, notre masse 𝑚, multipliée par 9,8 mètres par seconde au carré, notre valeur de l’intensité du champ gravitationnel 𝑔. Ensuite, le premier terme donne 31,104 et le deuxième terme donne à 23,52.
Maintenant, on a avancé et donné à ces termes des unités de newtons. Puisque cette expression est égale à notre force 𝐹 indice 𝐴, alors on sait que les termes doivent avoir des unités de force. Et puisque toutes les grandeurs ci-dessus sont exprimées en leur unités de base, alors on sait que la force doit également avoir une unité de base, qui est le newton. On remarque que cette première valeur à gauche est la valeur de 𝑚 fois 𝑟 fois 𝜔 au carré, qui est simplement la valeur de la force centripète 𝐹 indice 𝐶. On a déjà dit que 𝐹 indice 𝐶 a la même valeur en tout point du cercle. Et maintenant, on peut donner une valeur à cette intensité. Plus précisément, elle est égale à 31,104 newtons. Enfin, lorsqu’on effectue cette soustraction, on constate que 𝐹 indice 𝐴, la valeur de la force exercée sur la pierre par la corde, est égale à 7,584 newtons.
Ensuite, trouvons 𝐹 indice 𝐵. En fait, cette étape est vraiment facile puisqu’on sait que 𝐹 indice 𝐵 est égal à 𝐹 indice 𝐶. Et on a déjà établi que 𝐹 indice 𝐶, la force centripète, est égal à 31,104 newtons. Donc, on sait que 𝐹 indice 𝐵 est égal à 31,104 newtons.
La dernière étape consiste à trouver la différence entre ces deux valeurs 𝐹 indice 𝐴 et 𝐹 indice 𝐵. Si on soustrait 𝐹 𝐴 de 𝐹 𝐵, cela nous donne 31,104 newtons moins 7,584 newtons, ce qui équivaut à 23,52 newtons. Et cette valeur est la différence entre la valeur de la force que la corde applique à la pierre au point A par rapport au point 𝐵. Mais la question nous demandait en fait de donner cette réponse au newton le plus proche. Donc, en arrondissant notre résultat au newton le plus proche, on obtient une réponse de 24 newtons.
En effet, il s’avère qu’il y avait en fait un moyen plus rapide qu’on aurait pu utiliser pour arriver à cette réponse. Revenons au point où on vient de trouver les équations des forces agissant sur la pierre au point 𝐴 et au point 𝐵. Au point 𝐴, on savait que la force centripète 𝐹 indice 𝐶 était égale à 𝐹 indice 𝐴 plus 𝑚 multiplié par 𝑔, alors qu’au point 𝐵, on savait que la force centripète était égale à 𝐹 indice 𝐵. Mais on avait déjà dit qu’on savait que l’intensité de la force centripète 𝐹 indice 𝐶 serait la même en tous les points du cercle.
Ainsi, en regardant ces deux équations, on peut voir que les deux doivent avoir la même valeur à gauche, puisque 𝐹 indice 𝐶 a la même valeur au point 𝐴 qu’au point 𝐵. Si les deux équations les membres à gauche égaux, alors les membres à droite de ces deux équations doivent également être égaux. Égalisant ces deux membres nous donne une équation qui dit que 𝐹 indice 𝐵 est égal à 𝐹 indice 𝐴 plus 𝑚 fois 𝑔.
Alors finalement on peut voir tout de suite que la différence entre la force fournie par la corde au point 𝐵 par rapport au point 𝐴 est égale à cette valeur 𝑚 fois 𝑔. Nous pouvons rendre cela plus explicite en réarrangeant l’équation, en soustrayant 𝐹 indice 𝐴 des deux côtés. Ensuite, on obtient que 𝐹 indice 𝐵 moins 𝐹 indice 𝐴 est égal à 𝑚 fois 𝑔. En mettant les valeurs que 𝑚 est égal à 2,4 kilogrammes et 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré, on calcule que 𝐹 indice 𝐵 moins 𝐹 indice 𝐴 est égal à 23,52 newtons. Et encore une fois, en arrondissant cela au newton le plus proche, on a la même réponse de 24 newtons.
Cette deuxième approche était beaucoup plus rapide. On n’avait même pas besoin de connaître la valeur de 𝐹 indice 𝐶. On a simplement utilisé le fait qu’il s’agissait d’une constante pour trouver la différence entre 𝐹 indice 𝐴 et 𝐹 indice 𝐵.
Regardons ensuite la deuxième partie de la question.
Quelle est la différence entre l’intensité de la force que la corde applique à la pierre au point 𝐴, où la corde pointe verticalement vers le haut, et l’intensité de la force que la corde applique à la pierre au point 𝐶, où la corde pointe verticalement vers le bas ? Donne ta réponse au newton le plus proche.
Donc, dans cette deuxième partie de la question, on nous demande de trouver la différence entre l’intensité de la force que la corde applique sur la pierre au point A par rapport au point 𝐶. Ici, on sait déjà qu’au point 𝐴, la corde pointe verticalement vers le haut. Et nos deux forces, donc la force due à la corde 𝐹 indice 𝐴 et la force due à la gravité 𝑚 fois 𝑔, agissent vers le centre du cercle. Alors, au point 𝐶, la corde pointe verticalement vers le bas.
On sait que la force exercée par la corde agit toujours dans la direction de la corde vers le centre du cercle. Ainsi, on peut dessiner cette force au point 𝐶 agissant verticalement vers le haut vers le centre du cercle. Maintenant, on n’utilisera pas la même appellation que nous avons utilisé pour cette force aux points 𝐴 et 𝐵 puisque 𝐹 indice 𝐶 est déjà pris pour la force centripète. Au lieu de cela, on appellera cette force de la corde au point 𝐶 comme 𝐹 indice 𝑅. Ensuite, l’autre force qu’on doit considérer est la force sur la pierre due à la pesanteur. On sait que cette force agit toujours verticalement vers le bas et qu’elle a une intensité de 𝑚 fois 𝑔, où 𝑚 est la masse de la pierre et 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel.
On a déjà une équation pour les forces agissant sur la pierre au point 𝐴. Alors, écrivons une équation équivalente au point 𝐶. Rappelons que la force centripète 𝐹 indice 𝐶 est la force résultante vers le centre du cercle, puis au point 𝐶, on a que la force centripète 𝐹 indice 𝐶 est égale à la force de la corde 𝐹 indice 𝑅 moins la force due à la gravité 𝑚 fois 𝑔. En effet, la force de la corde agit vers l’intérieur vers le centre du cercle, tandis que la force due à la gravité agit dans la direction opposée vers l’extérieur du cercle.
Maintenant qu’on a ces deux équations au point 𝐴 et au point 𝐶, on peut utiliser le fait que 𝐹 indice 𝐶 a la même intensité en tout point du cercle. Donc, ces deux équations sont les mêmes à gauche. Cela signifie que les membres à droite de ces deux équations doivent également être égaux. On peut donc écrire que 𝐹 indice 𝐴 plus 𝑚 fois 𝑔 est égal à 𝐹 indice 𝑅 moins 𝑚 fois 𝑔. La soustraction de 𝑚 fois 𝑔 des deux côtés de cette équation nous donne que 𝐹 indice 𝐴 plus deux fois 𝑚 fois 𝑔 est égal à 𝐹 indice 𝑅. Ensuite, en soustrayant 𝐹 indice 𝐴 des deux côtés, on obtient que deux fois 𝑚 fois 𝑔 égale 𝐹 indice 𝑅 moins 𝐹 indice 𝐴. En d’autres termes, la différence entre la force fournie à la pierre par la corde au point 𝐶 et au point 𝐴 est égale à deux fois 𝑚 fois 𝑔.
En remplaçant les valeurs de la masse de la pierre et la valeur de l’intensité du champ gravitationnel, on a que cette différence est égale à deux fois notre masse de 2,4 kilogrammes fois notre valeur de 𝑔 de 9,8 mètres par seconde au carré. Le calcul nous donne un résultat de 47,04 newtons. Et ce nombre est la différence entre la valeur de la force de la corde au point 𝐴 par rapport au point 𝐶. Mais comme pour la première partie de la question, on nous demande de donner cette réponse au newton le plus proche. L’arrondissement de notre valeur de 47,04 newtons au newton le plus proche nous donne une réponse de 47 newtons.
