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Vidéo de question : Calcul de la longueur d’une corde dans un cercle en utilisant la relation donnée entre les cordes Mathématiques

Un cercle de centre 𝑀 a pour rayon 11 cm. Le point 𝐴 est à 8 cm de 𝑀 et appartient à la corde 𝐵𝐶. Sachant que 𝐴𝐵 = 3𝐴𝐶, calculez la longueur de 𝐵𝐶 en donnant votre réponse au centième près.

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Transcription de vidéo

Un cercle de centre 𝑀 a pour rayon 11 cm. Le point 𝐴 est à huit centimètres de 𝑀 et appartient à la corde 𝐵𝐶. Sachant que 𝐴𝐵 égale trois 𝐴𝐶, calculez la longueur du segment 𝐵𝐶 en donnant votre réponse au centième près.

Commençons par faire un schéma. Nous avons un cercle de centre 𝑀 et de rayon 11 centimètres. Il y a aussi une corde 𝐵𝐶 et le point 𝐴 se trouve quelque part sur cette corde, de sorte que la longueur de 𝐴𝐵 mesure trois fois la longueur de 𝐴𝐶. Le point 𝐴 est donc peut-être ici. Nous ne connaissons pas la longueur de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶, mais nous connaissons le rapport entre ces deux longueurs. Si 𝐴𝐵 est égal à trois 𝐴𝐶, alors, si 𝐴𝐶 mesure 𝑥 centimètres pour 𝑥 non nul, alors 𝐴𝐵 mesure trois 𝑥 centimètres. Nous savons également que le point 𝐴 est à huit centimètres du point 𝑀, nous pouvons donc indiquer la longueur de ce segment sur la figure.

On nous demande de calculer la longueur de la corde 𝐵𝐶, il faut donc déterminer la valeur de l’inconnue 𝑥. Les informations fournies sont les longueurs des segments de la même corde, nous pouvons donc rappeler un cas particulier du théorème de la puissance d’un point. Soit 𝐴 un point à l’intérieur du cercle 𝑀, et soit le segment 𝐵𝐶 une corde passant par 𝐴. Alors moins 𝑃 indice 𝑀 de 𝐴 est égal à 𝐴𝐵 multiplié par 𝐴𝐶. La notation 𝑃 indice 𝑀 de 𝐴 désigne la puissance du point 𝐴 par rapport au cercle 𝑀 et est définie comme étant égale à 𝐴𝑀 au carré moins 𝑟 au carré. Soit le carré de la distance entre les points 𝐴 et 𝑀 moins le carré du rayon.

Nous connaissons ces deux longueurs. 𝐴𝑀 est égal à huit et 𝑟 est égal à 11. Nous pouvons donc en déduire que 𝑃 indice 𝑀 de 𝐴 est égal à huit au carré moins 11 au carré. Soit 64 moins 121, ce qui vaut moins 57. Nous obtenons alors que moins moins 57, ou simplement 57, est égal à 𝐴𝐵 multiplié par 𝐴𝐶. Rappelez-vous, nous avons exprimé les longueurs 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 en fonction de l’inconnue 𝑥. 𝐴𝐵 était défini comme étant égal à trois 𝑥 centimètres et 𝐴𝐶 égal à 𝑥 centimètres. Ainsi, nous avons l’équation 57 égale trois 𝑥 multiplié par 𝑥, qui se simplifie en 57 égale trois 𝑥 au carré.

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour en déduire la valeur de 𝑥. D’abord, nous divisons les deux côtés de l’équation par trois, ce qui donne 19 égale 𝑥 au carré. Ensuite, nous prenons plus la racine carrée de chaque côté de cette équation ; nous ne prenons que la valeur positive, en effet, 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont positives puisque ce sont des longueurs. Ainsi, nous trouvons que 𝑥 est égal à la racine carrée de 19.

Enfin, il faut calculer la longueur de 𝐵𝐶, qui est égale à la longueur de 𝐴𝐵 plus la longueur de 𝐴𝐶, soit trois 𝑥 plus 𝑥, ou simplement quatre 𝑥. Nous venons de trouver que 𝑥 est égal à la racine carrée de 19, nous pouvons donc remplacer 𝑥 par cette valeur. Nous trouvons alors que 𝐵𝐶 est égal à quatre racine de 19. Il est demandé de répondre au centième près, nous allons donc calculer le nombre sous forme décimale. Nous obtenons 17,4355 etc, ce qui au centième près donne 17,44.

Ainsi, en utilisant un cas particulier du théorème de la puissance d’un point, nous obtenons que le segment 𝐵𝐶 mesure 17,44 centimètres, au centième près.

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