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Dans un ensemble universel 𝑆, on représente les probabilités de plusieurs événements. Les événements 𝐴 et 𝐵 sont-ils indépendants ?
Commençons par rappeler dans quel cas deux événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants. 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 fois la probabilité de 𝐵. Voyons ce que chacun de ces termes signifie.
Voyons d’abord comment trouver la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. C’est la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent tous les deux. Voyons quelle est la région du diagramme de Venn qui représente cette probabilité.
La région qui représente l’intersection de 𝐴 et 𝐵 est la région où 𝐴 et 𝐵 se chevauchent. C’est donc cette région ici que j’ai hachurée. Nous pouvons maintenant consulter le diagramme de Venn fourni. La probabilité de cette région est de cinq sur 19. Et donc, la probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵 est égale à cinq sur 19.
Ensuite, voyons comment trouver la probabilité de l’événement 𝐴. La probabilité que l’événement 𝐴 se produise est la somme de toutes les probabilités dans le cercle qui représente 𝐴. Il s’agit de ce cercle hachuré ici. Il ne faut pas oublier d’inclure également cette région ici qui se superpose à 𝐵.
Alors, pour trouver la probabilité de 𝐴, il faut additionner toutes les probabilités de cette région. Sur le diagramme de Venn fourni, les probabilités sont quatre sur 19 et cinq sur 19. Donc, ça nous donne une probabilité de 𝐴 égale à quatre sur 19 plus cinq sur 19, ce qui est égal à neuf sur 19.
Passons maintenant à la probabilité de 𝐵. La probabilité que 𝐵 se produise est la somme de toutes les probabilités à l’intérieur de la région 𝐵. Cette région est la région hachurée ici. Encore une fois, il ne faut pas oublier d’inclure la partie ici qui se superpose à 𝐴.
Donc, pour trouver la probabilité de 𝐵, il faut consulter le diagramme de Venn fourni et additionner toutes les probabilités dans cette région. On voit que ces probabilités sont cinq sur 19 et cinq sur 19. Et donc, la probabilité de 𝐵 est égale à cinq sur 19 plus cinq sur 19, soit 10 sur 19.
Nous avons maintenant trouvé la probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵, la probabilité de 𝐴 et la probabilité de 𝐵. Il ne reste plus qu’à prendre la probabilité de 𝐴, la multiplier par la probabilité de 𝐵, et voir si c’est égal à la probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵.
La probabilité de 𝐴 fois la probabilité de 𝐵 est égale à neuf sur 19 fois 10 sur 19. Ce qui donne 190 sur 361. Or, la probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵 est égale à cinq sur 19. Ce qui n’est pas égal à 190 sur 361. Nous en concluons que 𝐴 et 𝐵 ne sont pas indépendants.
