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Lequel des cercles illustrés a pour équation 𝑥 moins trois au carré plus 𝑦 plus un au carré égale quatre ?
Pour répondre à cette question, rappelons l’équation d’un cercle en fonction de son rayon et de son centre. Si un cercle a pour centre le point de coordonnées ℎ, 𝑘 et un rayon de 𝑟 unités, alors il a pour équation 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 au carré.
Nous voyons que cette équation a la même structure que l’équation qui nous a été donnée. Il faut donc comparer les deux équations pour déterminer les valeurs de ℎ, 𝑘 et 𝑟. Nous pourrons ensuite déterminer le centre et le rayon du cercle. Ceci nous permettra de déterminer à quoi ressemble son graphique.
En comparant les premières parenthèses, nous avons 𝑥 moins ℎ dans la forme générale et 𝑥 moins trois dans notre équation. Ainsi, la valeur de ℎ, l’abscisse du centre du cercle, est trois.
En comparant les secondes parenthèses, nous avons 𝑦 moins 𝑘 dans la forme générale et 𝑦 plus un dans notre équation. Ainsi, nous voyons que moins 𝑘 est égal à un. Pour trouver la valeur de 𝑘, nous multiplions ou divisons chaque côté de cette équation par moins un, ce qui donne 𝑘 égale moins un. Ainsi, l’ordonnée du centre est moins un.
Enfin, en comparant les membres droits des équations, nous obtenons 𝑟 au carré égale quatre. Pour trouver la valeur de 𝑟, il faut prendre la racine carrée de chaque côté de cette équation. Puisque quatre est un carré, sa racine carrée est simplement le nombre entier deux. Normalement, pour résoudre une équation en prenant sa racine carrée, nous prenons plus ou moins la racine carrée. Seulement, puisque 𝑟 est le rayon d’un cercle, sa valeur doit être positive. Nous prenons donc uniquement plus racine carrée de quatre.
Puis, en comparant l’équation du cercle à l’équation générale en fonction du centre et du rayon, nous en déduisons que notre cercle a pour centre le point trois, moins un et un rayon de deux unités. Nous pouvons maintenant regarder le graphique fourni pour déterminer quel est le bon cercle. Voici le point trois, moins un. Nous voyons qu’il y a deux cercles centrés en ce point, les cercles C et D. Il reste à déterminer lequel de ces cercles a le bon rayon.
Il suffit de tracer un segment entre le centre et un point quelconque de la circonférence de ces deux cercles. Le plus simple est de tracer un rayon horizontal ou vertical, comme celui que j’ai dessiné ici. La longueur de ce segment est la différence des abscisses de ses deux extrémités, qui sont trois et un. Ainsi, la longueur de ce segment, qui est le rayon du cercle C, est de deux unités. À titre de comparaison, nous voyons que le rayon du grand cercle, le cercle bleu, est de quatre unités car son rayon est la différence entre les abscisses sept et trois.
Ainsi, le cercle, qui a pour centre le point trois, moins un et un rayon de deux unités et dont l’équation est donc 𝑥 moins trois au carré plus 𝑦 plus un au carré égale quatre, est le cercle C.
Notez qu’une erreur courante est de choisir le cercle D. Il a le bon centre mais le mauvais rayon. En fait, nous obtenons ce rayon si nous oublions la racine carrée. Nous savons que le carré du rayon vaut quatre, mais le rayon lui-même vaut deux. Il s’agit d’une erreur courante. Si nous pensons à prendre la racine carrée du membre droit de l’équation du cercle donné par son centre et son rayon, nous savons que la bonne réponse est le cercle C.
