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VidĂ©o de question : ReprĂ©sentation graphique de cercles Mathématiques

Lequel des cercles illustrĂ©s a pour Ă©quation (đ‘„ − 3)ÂČ + (𝑩 + 1)ÂČ = 4 ?

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Transcription de vidéo

Lequel des cercles illustrĂ©s a pour Ă©quation đ‘„ moins trois au carrĂ© plus 𝑩 plus un au carrĂ© Ă©gale quatre ?

Pour rĂ©pondre Ă  cette question, rappelons l’équation d’un cercle en fonction de son rayon et de son centre. Si un cercle a pour centre le point de coordonnĂ©es ℎ, 𝑘 et un rayon de 𝑟 unitĂ©s, alors il a pour Ă©quation đ‘„ moins ℎ au carrĂ© plus 𝑩 moins 𝑘 au carrĂ© Ă©gale 𝑟 au carrĂ©.

Nous voyons que cette Ă©quation a la mĂȘme structure que l’équation qui nous a Ă©tĂ© donnĂ©e. Il faut donc comparer les deux Ă©quations pour dĂ©terminer les valeurs de ℎ, 𝑘 et 𝑟. Nous pourrons ensuite dĂ©terminer le centre et le rayon du cercle. Ceci nous permettra de dĂ©terminer Ă  quoi ressemble son graphique.

En comparant les premiĂšres parenthĂšses, nous avons đ‘„ moins ℎ dans la forme gĂ©nĂ©rale et đ‘„ moins trois dans notre Ă©quation. Ainsi, la valeur de ℎ, l’abscisse du centre du cercle, est trois.

En comparant les secondes parenthĂšses, nous avons 𝑩 moins 𝑘 dans la forme gĂ©nĂ©rale et 𝑩 plus un dans notre Ă©quation. Ainsi, nous voyons que moins 𝑘 est Ă©gal Ă  un. Pour trouver la valeur de 𝑘, nous multiplions ou divisons chaque cĂŽtĂ© de cette Ă©quation par moins un, ce qui donne 𝑘 Ă©gale moins un. Ainsi, l’ordonnĂ©e du centre est moins un.

Enfin, en comparant les membres droits des Ă©quations, nous obtenons 𝑟 au carrĂ© Ă©gale quatre. Pour trouver la valeur de 𝑟, il faut prendre la racine carrĂ©e de chaque cĂŽtĂ© de cette Ă©quation. Puisque quatre est un carrĂ©, sa racine carrĂ©e est simplement le nombre entier deux. Normalement, pour rĂ©soudre une Ă©quation en prenant sa racine carrĂ©e, nous prenons plus ou moins la racine carrĂ©e. Seulement, puisque 𝑟 est le rayon d’un cercle, sa valeur doit ĂȘtre positive. Nous prenons donc uniquement plus racine carrĂ©e de quatre.

Puis, en comparant l’équation du cercle Ă  l’équation gĂ©nĂ©rale en fonction du centre et du rayon, nous en dĂ©duisons que notre cercle a pour centre le point trois, moins un et un rayon de deux unitĂ©s. Nous pouvons maintenant regarder le graphique fourni pour dĂ©terminer quel est le bon cercle. Voici le point trois, moins un. Nous voyons qu’il y a deux cercles centrĂ©s en ce point, les cercles C et D. Il reste Ă  dĂ©terminer lequel de ces cercles a le bon rayon.

Il suffit de tracer un segment entre le centre et un point quelconque de la circonfĂ©rence de ces deux cercles. Le plus simple est de tracer un rayon horizontal ou vertical, comme celui que j’ai dessinĂ© ici. La longueur de ce segment est la diffĂ©rence des abscisses de ses deux extrĂ©mitĂ©s, qui sont trois et un. Ainsi, la longueur de ce segment, qui est le rayon du cercle C, est de deux unitĂ©s. À titre de comparaison, nous voyons que le rayon du grand cercle, le cercle bleu, est de quatre unitĂ©s car son rayon est la diffĂ©rence entre les abscisses sept et trois.

Ainsi, le cercle, qui a pour centre le point trois, moins un et un rayon de deux unitĂ©s et dont l’équation est donc đ‘„ moins trois au carrĂ© plus 𝑩 plus un au carrĂ© Ă©gale quatre, est le cercle C.

Notez qu’une erreur courante est de choisir le cercle D. Il a le bon centre mais le mauvais rayon. En fait, nous obtenons ce rayon si nous oublions la racine carrĂ©e. Nous savons que le carrĂ© du rayon vaut quatre, mais le rayon lui-mĂȘme vaut deux. Il s’agit d’une erreur courante. Si nous pensons Ă  prendre la racine carrĂ©e du membre droit de l’équation du cercle donnĂ© par son centre et son rayon, nous savons que la bonne rĂ©ponse est le cercle C.

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