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Vidéo de question : Détermination de la position du centre de masse d’une surface triangulaire équilatérale uniforme Mathématiques

Déterminez la position du centre de masse de la surface uniforme 𝐴𝐵𝐶, qui est de la forme d’un triangle équilatéral.

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Transcription de vidéo

Déterminez la position du centre de masse de la surface uniforme 𝐴𝐵𝐶, qui est de la forme d’un triangle équilatéral.

D’accord, sur notre schéma, on voit ce triangle équilatéral sur un plan 𝑥𝑦. Le sommet 𝐴 est à l’origine, 𝐵 est ici et 𝐶 est ici le long de l’axe des 𝑥. Cette figure est remplie par une surface uniforme. On peut y penser comme une feuille mince de n’importe quelle matière. La masse est répartie uniformément dans cette surface, et on veut déterminer son centre de masse. C’est l’endroit où toute la masse de cette surface est effectivement concentrée.

Alors, puisque la surface 𝐴𝐵𝐶 est uniforme, cela signifie que si l’on peut trouver le centre géométrique de cette figure, on va trouver également son centre de masse. Pour tout triangle, équilatéral ou non, son centre géométrique peut être trouvé à partir des coordonnées de ses trois sommets. C’est-à-dire, pour notre triangle, si l’on connait les coordonnées des sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶, alors on peut utiliser cette information pour calculer le centre géométrique de notre triangle. Et comme on dit, il est situé au même point que son centre de masse.

Notre première tâche consiste alors à écrire les coordonnées de ces trois sommets. En considérant le premier sommet 𝐴, comme il est situé à l’origine, on sait que ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont zéro, zéro. Alors considérons le sommet 𝐵. Ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont indiquées ici, et on peut voir que sa coordonnée 𝑥 sera la moitié de la base de notre triangle, où cette base est sept 𝑎. Mais qu’en est-il de la coordonnée 𝑦 de ce sommet ? À ce stade, on doit rappeler qu’il s’agit d’un triangle équilatéral. Cela signifie que tous les angles intérieurs sont les mêmes. Et donc ils mesurent 60 degrés.

Sachant cela, on peut dire que la hauteur du triangle, ce que l’on veut vraiment savoir ici, est égale à l’hypoténuse de ce triangle rectangle multipliée par le sinus de 60 degrés. La longueur de l’hypoténuse est la longueur des côtés du triangle équilatéral, soit sept fois 𝑎. Ainsi donc, la coordonnée 𝑦 du sommet 𝐵 est sept 𝑎 fois le sinus de 60 degrés. Rappelons-nous que le sinus de 60 degrés est exactement égal à la racine carrée de trois sur deux. Et on a les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du sommet 𝐵. Et si l’on considère alors les coordonnées du sommet 𝐶, on voit que la coordonnée 𝑥 de ce point est sept fois 𝑎, tandis que la coordonnée 𝑦 est nulle.

En plus, on a conclu précédemment que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de masse de notre triangle sont égales, respectivement, aux coordonnées moyennes en 𝑥 et en 𝑦 des sommets. En d’autres termes, si l’on fait la moyenne de ces trois valeurs, on va trouver la coordonnée 𝑥 du centre de masse de notre triangle. Et il en va de même pour la coordonnée 𝑦 du centre de masse du triangle. En substituant les coordonnées 𝑥 de nos trois sommets, leur moyenne sera zéro plus sept 𝑎 sur deux plus sept 𝑎 le tout divisé par trois. Cela équivaut à trois fois la moitié de sept 𝑎 divisé par trois ou sous forme simplifiée sept 𝑎 divisé par deux.

Ensuite, on passe à calculer la coordonnée 𝑦 de notre centre de masse du triangle. De même que pour la coordonnée 𝑥, la coordonnée 𝑦 du centre de masse est égale à la valeur moyenne de 𝑦 des trois sommets. Cela se simplifie à la racine carrée de trois sur six fois sept 𝑎. Finalement on peut écrire les coordonnées de notre centre de masse. Pour ce triangle équilatéral, son centre de masse est situé à sept 𝑎 sur deux, racine de trois sur six fois sept 𝑎 ou sept 𝑎 sur deux, sept racine de trois 𝑎 sur six.

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