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Résolvez l’équation racine de deux sinus 𝜃 plus racine de trois cosinus 𝜃 égale deux, où 𝜃 est strictement supérieur à zéro et inférieur ou égal à deux 𝜋. Donnez la réponse au centième de radians près.
Dans cette question, nous avons une équation formée à partir de la combinaison linéaire d’un sinus et d’un cosinus que nous allons résoudre en commençant par rappeler l’une des formules trigonométriques d’addition. Cette formule est sinus 𝐴 plus 𝐵 égale sinus 𝐴 fois cosinus 𝐵 plus cosinus 𝐴 sinus 𝐵. Lorsque nous avons comme ici une équation de la forme 𝑎 sinus 𝜃 plus 𝑏 cosinus 𝜃, nous commençons par la réécrire sous la forme 𝑅 fois sinus 𝜃 plus 𝛼. Dans cette question, nous voulons réécrire racine de deux sinus 𝜃 plus racine de trois cosinus 𝜃 sous la forme 𝑅 fois sinus 𝜃 plus 𝛼, où les valeurs de 𝑅 et 𝛼 peuvent être déterminées à partir des constantes 𝑎 et 𝑏.
Nous pouvons rappeler que 𝑅 est égal à racine de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré et que 𝛼 est égal à la tangente réciproque de 𝑏 sur 𝑎. Nous pouvons sinon utiliser la formule d’addition pour réécrire le côté droit de notre équation. Nous obtenons alors 𝑅 sinus 𝜃 cosinus 𝛼 plus 𝑅 cosinus 𝜃 sinus 𝛼. Puis, nous comparons les coefficients de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃 de chaque côté de l’équation, ce qui nous donne racine de deux égale 𝑅 cosinus 𝛼 et racine de trois égale 𝑅 sinus 𝛼.
Nous avons maintenant un système de deux équations que nous pouvons utiliser pour déterminer les valeurs de 𝛼 et 𝑅. En divisant la seconde équation par la première, nous obtenons racine de trois sur racine de deux égale 𝑅 sinus 𝛼 sur 𝑅 cosinus 𝛼. Puisque sinus 𝛼 sur cosinus 𝛼 égale tangente 𝛼, alors nous avons tangente 𝛼 égale racine de trois sur racine de deux. Nous pouvons maintenant appliquer la fonction réciproque de la tangente aux deux membres de l’équation pour obtenir 𝛼 égale la tangente réciproque de racine de trois sur racine de deux. Nous voyons par conséquent que 𝛼 est égal à la tangente réciproque de 𝑏 sur 𝑎. Nous entrons cette expression dans notre calculatrice en vérifiant qu’elle est bien en mode radian et nous obtenons 𝛼 égale 0,886 etc.
Nous pouvons ensuite remplacer la valeur exacte de 𝛼 dans l’une ou l’autre de nos deux équations pour calculer 𝑅. Nous choisissons l’équation deux, pour laquelle nous avons 𝑅 égale racine de trois sur sinus 𝛼, ce qui est égal à racine de cinq. Nous aurions aussi pu calculer 𝑅 en utilisant l’identité trigonométrique pythagoricienne pour montrer que 𝑅 est égal à racine de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Cela nous donnerait racine de racine de deux au carré plus racine de trois au carré, ce qui est égal à racine de cinq. Faisons un peu de place ; nous avons maintenant l’équation racine de cinq fois sinus 𝜃 plus 0,886 etc. égale deux. Nous devons résoudre cette équation pour 𝜃 strictement supérieur à zéro et inférieur ou égal à deux 𝜋.
Nous commençons par diviser les deux membres de l’équation par racine de cinq. Cela nous donne sinus 𝜃 plus 0,886 etc. égale deux sur racine de cinq. Nous appliquons ensuite la fonction réciproque du sinus aux deux membres. Ainsi, nous avons 𝜃 plus 0,886 égale le sinus réciproque de deux sur racine de cinq. Nous utilisons notre calculatrice toujours réglée en mode radian pour calculer le membre de droite et nous obtenons 1,107 etc. Il suffit maintenant de soustraire 0,886 etc. des deux côtés pour trouver une solution de l’équation. Cela nous donne environ 0,221. Nous arrondissons au centième comme demandé dans la question et obtenons 𝜃 égale 0,22.
À ce stade, nous pourrions penser que nous avons fini de répondre à la question. Or, nous devons trouver toutes les valeurs de 𝜃 comprises entre zéro et deux 𝜋 qui vérifient l’équation. Une méthode pour identifier les autres solutions serait d’utiliser le cercle trigonométrique. Sur le cercle trigonométrique, nous mesurons les angles positifs compris entre zéro et deux 𝜋 dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Puisque le sinus de notre angle est positif, nous savons qu’il existe une solution dans le premier quadrant et une solution dans le deuxième quadrant. En utilisant la symétrie de la fonction sinus, nous pouvons voir que nous avons une seconde solution telle que 𝜃 plus 0,886 est égal à 𝜋 moins 1,107. En soustrayant 0,886 des deux côtés, nous trouvons que notre seconde solution est 𝜃 égale 1,148 etc. Nous arrondissons à nouveau au centième près pour obtenir 𝜃 égale 1,15.
Les solutions de l’équation racine de deux sinus 𝜃 plus racine de trois cosinus 𝜃 égale deux, où 𝜃 est strictement supérieur à zéro et inférieur ou égal à deux 𝜋 radians, sont 𝜃 égale 0,22 et 1,15 au centième près.
