Transcription de la vidéo
Utilisez la formule du binôme de Newton pour déterminer le développement de un plus 𝑥 à la puissance quatre.
Nous rappelons que la formule du binôme de Newton nous dit que le développement de 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛 avec 𝑛 un entier naturel est égal à 𝑎 puissance 𝑛 plus C 𝑛 un fois 𝑎 puissance 𝑛 moins un fois 𝑏 plus C 𝑛 deux fois 𝑎 puissance 𝑛 moins deux fois 𝑏 au carré et ainsi de suite jusqu’à 𝑏 puissance 𝑛. Alternativement, pour les expressions de la forme un plus 𝑥 à la puissance 𝑛, où la valeur absolue de 𝑥 est inférieure à un et 𝑛 est un nombre réel. Cela en fait comprend donc les nombres négatifs et les nombres décimaux. Le développement est un plus 𝑛𝑥 plus 𝑛 fois 𝑛 moins un sur un fois deux fois 𝑥 au carré et ainsi de suite.
Maintenant, nous cherchons en fait à trouver le développement de un plus 𝑥 à la puissance quatre. Cela ressemble en effet à notre deuxième exemple. Mais en réalité, comme quatre est un entier naturel, nous pouvons utiliser l’une ou l’autre formule. Nous allons utiliser la première formule. Nous allons poser que 𝑎 est égal à un et que 𝑏 est égal à 𝑥. Ceci est élevé à la puissance quatre. On pose donc que 𝑛 est égal à quatre. Ainsi, le premier terme du développement doit être un à la puissance quatre. Le deuxième terme est égal à C quatre un fois un au cube fois 𝑥. Le troisième terme est égal à C quatre deux fois un au carré fois 𝑥 au carré. Le quatrième terme est égal à C quatre trois fois un fois 𝑥 au cube. Et le cinquième et dernier terme est simplement 𝑥 à la puissance quatre.
Cherchons maintenant à évaluer C quatre un, C quatre deux et C quatre trois. Pour ce faire, nous rappelons que C 𝑛 𝑟 est donné par la formule factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Cela signifie que C quatre un est factorielle quatre divisé par factorielle un fois factorielle quatre moins un. Simplifions le dénominateur en factorielle un fois factorielle trois. Ensuite, nous rappelons que factorielle quatre est quatre fois trois fois deux fois un, ce qui est quatre fois factorielle trois. Nous pouvons donc réécrire ceci comme quatre fois factorielle trois sur un fois factorielle trois puis simplifier par factorielle trois. Et nous voyons ainsi que C quatre un est égal à quatre.
Répétons ceci pour évaluer C quatre deux. Cette fois-ci, c’est factorielle quatre sur factorielle deux fois quatre moins factorielle deux. Et nous simplifions donc le dénominateur en factorielle deux fois factorielle deux. Ensuite, nous écrivons le numérateur comme quatre fois trois fois factorielle deux. Et nous voyons que nous pouvons simplifier par factorielle deux. Maintenant, factorielle deux est deux. Cela se simplifie donc encore un peu en deux fois trois, ce qui est bien sûr égal à six. Et donc C quatre deux est égal à six.
Nous allons répéter ce processus une fois de plus pour C quatre trois. Cette fois-ci, c’est factorielle quatre sur factorielle trois fois factorielle un. Et si nous regardons attentivement, c’est en fait la même chose que C quatre un. Il doit donc également être égal à quatre. Tout au long du développement, un au cube, un au carré et un sont simplement égaux à un. Et ainsi nous trouvons que le développement binomial de un plus 𝑥 à la puissance quatre est égal à un plus quatre 𝑥 plus six 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 au cube plus 𝑥 à la puissance quatre.
