Vidéo de la leçon: Opérations graphiques sur les vecteurs Mathématiques • Première année secondaire

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à effectuer graphiquement des opérations sur des vecteurs en utilisant des règles de triangle et de parallélogramme. Commençons par rappeler ce que nous savons des vecteurs. Une quantité vectorielle a à la fois une longueur, nous appelons cela la norme et une direction. Nous les représentons à l’aide de colonnes ou de ces parenthèses inclinées, où le vecteur deux, cinq représente un mouvement de deux unités à droite et de cinq unités vers le haut. Et le vecteur moins un, moins quatre représente un mouvement d’une unité vers la gauche et de quatre unités vers le bas.

Très occasionnellement, nous utiliserons les notations 𝑖 et 𝑗, où 𝑖 est un vecteur unitaire dans le sens horizontal et 𝑗 est un vecteur unitaire dans le sens vertical. Nous représentons un vecteur à l’aide d’un segment marqué d’une flèche. Et nous disons que le vecteur qui joint 𝐀 à 𝐁 est le vecteur 𝐀𝐁, avec une flèche au-dessus des 𝐀 et 𝐁 comme indiqué.

Les vecteurs peuvent être ajoutés, soustraits et multipliés par un scalaire. C’est une valeur qui est purement de norme. Et nous pouvons les utiliser pour résoudre des problèmes géométriques. Regardons quelques exemples pour nous rappeler comment nous interprétons les vecteurs tracés sur une grille de coordonnées.

Considérez le vecteur dans la figure donnée. Quelles sont les coordonnées de son point terminal ? Quelles sont les coordonnées de son point initial ? Quelles sont les composantes du vecteur ?

Nous disons qu’un vecteur a un point initial, c’est là qu’il commence, et un point terminal, c’est là qu’il finit. Donc, pour trouver les coordonnées du point terminal du vecteur dans notre diagramme, c’est le vecteur 𝐯, nous devons trouver le point auquel se termine le segment qui représente ce vecteur. N’oubliez pas que la flèche représente la direction du vecteur. Donc dans ce cas, on se déplace de gauche à droite. Cela signifie que le vecteur se termine ici. On peut donc dire que son point terminal a des coordonnées deux, un.

Ensuite, nous cherchons à trouver les coordonnées de son point initial. Et rappelez-vous, nous avons dit que c’était le début du segment. C’est ici. Les coordonnées de ce point sont moins un, trois. Voilà donc les coordonnées du point initial de notre vecteur.

La troisième et dernière partie de cette question nous demande de trouver les composantes du vecteur. Nous divisons les vecteurs bidimensionnels en composantes qui représentent séparément le mouvement horizontal et vertical. Pour voir de quoi il s’agit, nous allons ajouter un triangle rectangle sur notre vecteur 𝐯. Cela le divisera en ses composantes horizontales et verticales. Le triangle rectangle que nous ajoutons est comme indiqué.

Regardons le mouvement dans le sens horizontal. Nous commençons à 𝑥 est égal à moins un et nous déplaçons un, deux, trois espaces vers la droite. Ensuite, nous considérons le mouvement vertical. Nous commençons à une coordonnée 𝑦 de trois, et nous déplaçons une, deux unités vers le bas. On peut donc écrire le vecteur 𝐯 comme indiqué. Nous pouvons utiliser une colonne ou ces supports coudés. Et le vecteur est trois, moins deux.

Dans notre deuxième exemple, nous considérerons ce que nous entendons par vecteurs équivalents et comment la géométrie d’un hexagone peut nous aider à les identifier.

Dans la figure donnée, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 est un hexagone régulier de centre 𝑚. Complétez ce qui suit. Le vecteur 𝐀𝐁 est équivalent à quoi ? Est-ce (A) le vecteur 𝐌𝐄, (B) le vecteur 𝐅𝐌, (C) le vecteur 𝐁𝐌, (D) le vecteur 𝐃𝐂, ou (E) le vecteur 𝐃𝐌 ?

Nous disons que deux vecteurs sont égaux ou équivalents s’ils ont la même norme et la même direction. Et cela, peu importe où ils se trouvent. Par exemple, supposons que le vecteur 𝐚 soit égal à un, trois et 𝐛 soit égal à un, trois. Ces deux représentent un mouvement d’une unité vers la droite et de trois unités vers le haut. Ce sont des vecteurs équivalents. Nous disons que le vecteur 𝐚 est égal au vecteur 𝐛.

Maintenant, nous cherchons à trouver un vecteur équivalent au vecteur 𝐀𝐁. Nous ne connaissons pas vraiment officiellement l’ampleur et la direction du vecteur 𝐀𝐁. Mais nous pouvons déduire ses vecteurs équivalents de notre diagramme en utilisant un peu de raisonnement géométrique. Le vecteur 𝐀𝐁 passe de 𝐀 à 𝐁, comme illustré. Et nous savons que dans un hexagone régulier, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Nous savons également que nous pouvons diviser un hexagone régulier en six triangles équilatéraux autour du centre. Et ce faisant, nous savons que ces côtés sont parallèles à ces côtés.

Étant donné que les triangles sont équilatéraux, cela signifie que chacun de ces côtés doit également être de longueur égale. Et en fait, cela signifie que le vecteur 𝐀𝐁 a plusieurs équivalents. On se déplace de gauche à droite, et on voit que c’est équivalent au vecteur 𝐅𝐌. De même, c’est équivalent, c’est égal au vecteur 𝐌𝐂. Et il a un autre vecteur équivalent. Le vecteur 𝐄𝐃 est égal en norme et en direction. Parmi ces facteurs dans notre liste, nous pouvons voir que la bonne réponse est (B). C’est le vecteur 𝐅𝐌.

Notez que si le vecteur avait indiqué 𝐌𝐅, nous n’aurions pas pu déduire que 𝐀𝐁 et 𝐌𝐅 sont égaux. On pourrait cependant dire que le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur moins 𝐌𝐅, car changer le signe change la direction dans laquelle on se déplace.

Maintenant, il y a en fait un tas d’autres vecteurs équivalents dans notre hexagone régulier. Prenez le vecteur 𝐀𝐅 par exemple. Il est égal en direction et en norme au vecteur 𝐁𝐌 pour les mêmes raisons. C’est équivalent au vecteur 𝐌𝐄. Et chacun d’eux est également équivalent au vecteur 𝐂𝐃.

Dans cet exemple, nous découvrirons comment calculer la valeur du scalaire utilisé pour multiplier un vecteur.

Étant donné les informations du diagramme ci-dessous, si le vecteur 𝐁𝐂 est égal à 𝐊 fois le vecteur 𝐄𝐃, trouvez 𝐊.

Dans notre diagramme, nous avons en fait donné deux triangles semblables. Autrement dit, l’un est un élargissement de l’autre. Le triangle 𝐀𝐃𝐄 a été agrandi sur 𝐀𝐁𝐂. Maintenant, nous le savons puisque l’angle 𝐴 est ici un angle partagé. On voit que les angles 𝐴𝐸𝐷 et 𝐴𝐶𝐵 sont égaux ainsi que les angles 𝐴𝐷𝐸 et 𝐴𝐵𝐶. Et cela parce que les angles correspondants sont égaux et nous savons que les côtés 𝐸𝐷 et 𝐶𝐵 sont parallèles.

Comme les triangles ont des angles égaux, ils doivent être semblables. Et cela signifie que nous sommes en mesure de calculer un facteur d’échelle d’agrandissement. Ceci est trouvé en divisant la longueur du triangle agrandi par la longueur correspondante de l’original. Nous écrivons parfois ceci comme une nouvelle longueur divisée par une ancienne longueur.

Si nous prenons le triangle agrandi pour être 𝐴𝐵𝐶 et le triangle d’origine pour être 𝐴𝐷𝐸, nous voyons que nous pouvons trouver le facteur d’échelle en divisant la longueur 𝐴𝐵 par la longueur 𝐴𝐷. La longueur de 𝐴𝐵 est en fait la somme des deux dimensions données. C’est 7.8 plus 5.2, ce qui fait 13 centimètres. Ainsi, le facteur d’échelle pour l’agrandissement ici est de 13 divisé par 5.2, ce qui est cinq sur deux.

Maintenant, le facteur d’échelle est simplement un multiplicateur. Nous savons que pour agrandir le triangle 𝐴𝐷𝐸 sur 𝐴𝐵𝐶, nous multiplions n’importe laquelle de ses longueurs par le facteur d’échelle de cinq sur deux. Maintenant, nous essayons de trouver une relation entre les vecteurs 𝐁𝐂 et 𝐄𝐃. Eh bien, nous savons que la dimension 𝐶𝐵 doit être cinq fois divisé par deux fois la dimension 𝐸𝐷. Mais comme ces droites sont également parallèles, nous savons qu’elles ont la même direction. Et cela signifie que nous pouvons dire que le vecteur 𝐂𝐁 doit être cinq fois divisé par deux fois le vecteur 𝐄𝐃.

Le problème est que nous voulons déterminer le vecteur 𝐁𝐂 en termes de vecteur 𝐄𝐃. Actuellement, nous avons le vecteur 𝐂𝐁 en termes de 𝐄𝐃. Et donc nous voyageons dans la direction opposée. Et on se souvient que pour faire ça avec des vecteurs, on change le signe pour que le vecteur 𝐁𝐂 soit égal au vecteur moins 𝐂𝐁. Nous venons de montrer que le vecteur 𝐂𝐁 est cinq sur deux fois le vecteur 𝐄𝐃. Cela doit donc signifier que le vecteur 𝐁𝐂 est moins cinq sur deux fois le vecteur 𝐄𝐃. En comparant cela à la forme originale de la question, nous voyons alors que 𝐾 est égal à moins cinq sur deux.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment trouver la résultante de deux vecteurs et ce que nous entendons par la règle du triangle pour des vecteurs supplémentaires.

Le vecteur bleu représente le nombre complexe 𝐳 un. Le vecteur vert représente le nombre complexe 𝐳 deux. Que représente le vecteur rouge ?

Maintenant, essayez de ne pas trop vous inquiéter du fait que les étiquettes d’axe ne sont pas ce à quoi vous êtes habitué. Nous considérerons cela comme un plan 𝑥𝑦. Nous avons deux vecteurs, donnés par 𝐳 un et 𝐳 deux. Ensuite, si nous regardons la droite rouge, nous voyons qu’elle se déplace du point initial de 𝐳 un au point terminal — c’est le point final — de 𝐳 deux.

Et quand je regarde les vecteurs, j’aime à y penser un peu comme un métro ou une carte de métro. Parfois, nous voulons voyager d’une gare à une autre, mais nous ne pouvons pas y aller directement. Et à la place, nous nous rendons dans une gare intermédiaire, changeons de train et continuons vers la destination finale. Notre destination finale est la même. Nous devions simplement nous y prendre d’une manière différente. Dans ce cas, la destination finale est du point zéro, zéro au point sept, un. Plutôt que d’aller directement là-bas, nous avons voyagé de zéro, zéro à deux, trois le long du vecteur 𝐳 un. Et puis nous avons voyagé de deux, trois à sept, un le long du vecteur 𝐳 deux.

Sous forme vectorielle, nous disons que notre voyage est de 𝐳 un plus 𝐳 deux. Maintenant, nous pouvons vérifier cela en regardant les composantes de chaque vecteur. 𝐳 un est donné par le vecteur deux, trois. Pour voyager du point initial au point terminal de notre deuxième vecteur, nous voyageons cinq à droite et deux vers le bas. Ses composantes sont donc cinq, moins deux.

Nous avons dit que nous pensions que le vecteur rouge était la somme de ceux-ci. Deux, trois plus cinq, moins deux. Eh bien, nous trouvons la somme de ces vecteurs en ajoutant leurs composantes. Nous ajoutons deux et cinq pour nous donner sept. Ensuite, nous ajoutons trois et moins deux pour en obtenir un. Donc 𝐳 un plus 𝐳 deux est sept, un. Et si nous comparons cela au vecteur rouge, nous voyons que c’est aussi sept, un. Le vecteur rouge représente 𝐳 un plus 𝐳 deux.

Maintenant, le vecteur rouge a en fait un nom formel. On l’appelle la résultante des vecteurs 𝐳 un et 𝐳 deux. Et en raison de la forme qu’il crée, nous définissons la règle du triangle pour l’ajout de vecteurs comme suit. Nous disons que si deux vecteurs sont représentés comme deux côtés d’un triangle, alors le troisième côté de ce triangle représente la norme et la direction de leur résultante. Ceci est illustré dans le schéma général. Le vecteur 𝐀𝐂 est la résultante du vecteur 𝐀𝐁 et 𝐁𝐂. Et nous disons que 𝐀𝐂 est 𝐀𝐁 plus 𝐁𝐂.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment trouver la résultante de deux vecteurs en utilisant la méthode du parallélogramme.

La figure montre deux vecteurs, 𝐯 et 𝐮, où la norme de 𝐯 est égale à cinq et la norme de 𝐮 est égale à sept. Utilisez la méthode du parallélogramme pour trouver la norme de la résultante de ces deux vecteurs. Donnez votre réponse à deux décimales.

La méthode du parallélogramme est ainsi appelée en raison de la figure qu’elle crée, comme le montre la figure. Cela signifie que si deux vecteurs agissant simultanément en un point peuvent être représentés à la fois en norme et en direction par les côtés adjacents d’un parallélogramme dessiné à partir d’un point. Le vecteur résultant est alors représenté à la fois en norme et en direction par la diagonale du parallélogramme passant par ce point.

Ainsi, comme le montre la figure, la résultante de 𝐯 et 𝐮 — c’est leur somme — est donnée par la diagonale du parallélogramme qui est dessinée en rose. Mais comment cela aide-t-il ? Eh bien, on nous donne quelques informations sur la norme des vecteurs 𝐮 et 𝐯. N’oubliez pas que la norme est la longueur ou la longueur du vecteur. Nous pouvons donc étiqueter 𝐮 comme sept unités et 𝐯 comme cinq unités. Nous pouvons également ajouter certains angles manquants. Nous savons que les angles co-intérieurs totalisent 180 degrés. Et nous savons que ces côtés sont parallèles. C’est un parallélogramme. Cet angle est donc donné par 180 moins 125, ce qui est égal à 55 degrés.

Maintenant, en fait, nous pouvons étiqueter les longueurs de deux autres côtés dans notre parallélogramme. Nous savons que les côtés opposés d’un parallélogramme sont de longueur égale. Nous pouvons donc étiqueter ces côtés comme cinq et sept. Et maintenant, nous allons diviser notre parallélogramme en deux triangles. Nous essayons de trouver la norme de 𝐯 plus 𝐮, donc la longueur de cette droite diagonale.

Appelons cette longueur 𝑥 unités. Nous voyons maintenant que nous avons un triangle non rectangle, pour lequel nous connaissons les longueurs de deux de ses côtés et l’angle entre eux. Cela signifie que nous pouvons utiliser la règle du cosinus pour trouver la longueur manquante 𝑥. La règle du cosinus dit que 𝑎 au carré est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 cos 𝐴. Puisque l’angle que nous avons est de 55 degrés, nous étiquetons ce sommet 𝐴. Ensuite, le côté opposé est en minuscules 𝑎. Nous pouvons étiqueter les deux autres côtés dans n’importe quel ordre. Étiquetons cinq comme 𝑏 et sept comme 𝑐.

Nous pouvons remplacer tout ce que nous savons de notre triangle dans cette formule. Et nous obtenons 𝑥 au carré est égal à cinq au carré plus sept au carré moins deux fois cinq fois sept fois cos de 55 degrés. L’évaluation de cette expression sur le côté droit nous donne 33.84 et ainsi de suite. Maintenant, nous allons résoudre cette équation pour 𝑥 en prenant la racine carrée des deux côtés. Cela nous donne 5.818 et ainsi de suite, qui, à deux décimales près, est 5.82. Nous avons donc trouvé que la longueur de 𝑥 était de 5.82 unités, ce qui signifie que la norme de la résultante de 𝐮 et 𝐯 est de 5.82.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris que les vecteurs peuvent être décrits par leur point initial, c’est leur point de départ, leur point terminal, c’est leur point final et en utilisant leurs composantes individuelles. Et ces composantes représentent les déplacements horizontaux et verticaux du mouvement. Nous avons vu que nous pouvons utiliser les propriétés géométriques des figures pour résoudre des problèmes concernant les équivalents de deux vecteurs et trouver des multiples scalaires.

Nous avons appris la règle du triangle. Et cela dit, si deux vecteurs sont représentés comme les deux côtés du triangle, alors le troisième côté de ce triangle représente la norme et la direction du vecteur résultant. Si nos deux vecteurs sont 𝐚 et 𝐛, la résultante est 𝐚 plus 𝐛. Et bien sûr, nous marquons cela avec une flèche comme indiqué.

Enfin, nous avons appris la méthode du parallélogramme. Cela signifie que si deux vecteurs agissent simultanément en un point et qu’ils sont représentés à la fois en norme et en direction par les côtés adjacents d’un parallélogramme dessiné à partir d’un point. Ensuite, le vecteur résultant est représenté à la fois en norme et en direction par la diagonale du parallélogramme passant par ce point, comme illustré.