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Vidéo de question : Déterminer une suite arithmétique sachant la valeur d’un terme et la moyenne arithmétique de deux termes de cette suite Mathématiques

Déterminez la suite arithmétique dont le neuvième terme est −119 et dont la moyenne arithmétique des troisième et cinquième termes est égale à −69.

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Transcription de vidéo

Déterminez la suite arithmétique dont le neuvième terme est moins 119 et dont la moyenne arithmétique des troisième et cinquième termes est égale à moins 69.

Nous savons que le premier terme de toute suite arithmétique est désigné par la lettre 𝑎. Et la raison, qui représente la différence commune entre les termes, est 𝑟. Cela signifie que le deuxième terme est égal à 𝑎 plus 𝑟. Le troisième terme est égal à 𝑎 plus 𝑟 plus 𝑟 ou 𝑎 plus deux 𝑟 et ainsi de suite. En continuant sur ce principe, nous constatons que le 𝑛-ième terme est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un multiplié par 𝑟.

Il nous est dit dans cette question que le neuvième terme est égal à moins 119. Cela signifie que 𝑎 plus huit 𝑟 est égal à moins 119. Il nous est également dit que la moyenne des troisième et cinquième termes est égale à moins 69. Nous pouvons calculer la moyenne arithmétique de deux nombres en les additionnant puis en divisant par deux. Par conséquent, le troisième terme plus le cinquième terme divisé par deux est égal à moins 69. En multipliant les deux membres de cette équation par deux nous obtenons que la somme des troisième et cinquième termes est égale à moins 138. 𝑎 plus deux 𝑟 plus 𝑎 plus quatre 𝑟 est égal à moins 138. La simplification du membre de gauche en rassemblant ou en regroupant les termes semblables nous donne deux 𝑎 plus six 𝑟. Nous pouvons alors diviser les deux membres de cette équation par deux nous donnant ainsi que 𝑎 plus trois 𝑟 est égal à moins 69.

Nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues que nous pouvons résoudre pour calculer les valeurs de 𝑎 et 𝑟. Si nous soustrayons l’équation deux de l’équation un, les 𝑎 s’éliminent. Dans le membre de droite, nous nous retrouvons avec moins 50. Soustraire moins 69 revient à ajouter 69 à moins 119. Diviser les deux membres de cette équation par cinq nous donne que 𝑟 est égal à moins 10. Nous pouvons alors remplacer par cette valeur de 𝑟 dans l’équation un ou l’équation deux pour calculer la valeur de 𝑎. On obtient 𝑎 plus trois multiplié par moins 10 est égal à moins 69. Cela peut être simplifié en 𝑎 moins 30 est égal à moins 69. Ajouter 30 aux deux membres nous donne une valeur de 𝑎 de moins 39.

Comme le premier terme de notre suite arithmétique est moins 39 et que la raison est moins 10, alors la suite est moins 39, moins 49, moins 59, et ainsi de suite.

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